V. — Modules d'une classe de courbes algébriques

21. Une des applications les plus intéressantes du théorème général d'existence des fonctions algébriques correspondant à une surface de Riemann est la recherche du nombre des modules des fonctions algébriques d'un genre donné p.

Commençons par une remarque préliminaire. Si l'on se donne dans le plan de la variable z les

w = 2 ( ni -+- p — i)

points de ramification d'une surface de Riemann à m feuillets, on peut se demander quel sera le nombre des surfaces, ayant ce nombre de feuillets, qu'il sera possible de former. Nous voulons seulement faire observer que ce nombre sera fini; la recherche de ce nombre sera une question de Géométrie de situation et «1 Analyse combinatoire. La fonction qui le représente est sans doute une fonction compliquée de m et de p. M. Hurwitz, qui 1 occupé avec succès de cette recherche, la déterminée pour les valeurs les plus simples de m (*); nour renverrons à son Mémoire. Il nous suffit de savoir que ce nombre est fini.

^2:2. Nous voulons chercher de combien de paramètres arbitraires dépend essentiellement une classe de surfaces de Riemann

d'un genre donné />. Par Le mol essentiellement ) nous entendons que toutes les surfaces de cette classe pourront être ramenées i 1 une d elles, qui se trouvera définie par certaines valeurs «le ces paramétres, et qu'inversement à «les valeurs arbitrairement don

(') Burwiti, Hathematitcht Annalen, Bd 39.

5y6 CHAPITRE XVI.

nées de ces paramètres correspondra seulement une classe ou un nombre limité de classes de surfaces. Ces paramètres ont été appelés par Riemann les modules. Ils jouissent évidemment d'un caractère d'invariance relativement aux transformations uniformes.

Nous ferons connaître successivement les deux méthodes employées par Riemann ('). Voici, en précisant seulement quelques détails, la première de ces méthodes.

Tout d'abord, étant donnée une surface de Riemann (w, ~), nous pouvons la transformer en une autre qui lui corresponde point par point, et où le nombre ^ des feuillets soit supérieur à 2p — 2 ; ceci est évident, puisqu'on peut prendre u arbitrairement (pourvu qu'il soit supérieur àp + i) en prenant pour nouvelle variable une fonction rationnelle de u et z ayant \k pôles (p. 5 17).

Nous supposons donc que les surfaces de Riemann de genre /?, dont nous voulons étudier l'ensemble, ont \k feuillets; ijl va rester fixe et est d'ailleurs un nombre quelconque supérieur à ip — 2 (on verra dans un moment pourquoi nous faisons cette dernière hypothèse).

Le nombre des points de ramification de notre surface sera

alors

Nous pouvons nous donner arbitrairement ces points de ramification; donc, le nombre des surfaces étant fini pour des positions données de ces points, nous pouvons dire que nous avons une

surface dépendant de

1 |Jt -f- 2 p — 2

constantes arbitraires. Mais toutes ces surfaces ne sont pas distinctes : je veux dire qu'il y en a parmi elles qui se correspondent point par point; en désignant par (w, z) un point de la surface, nous pouvons remplacer la variable z par une autre variable

R étant une fonction rationnelle ayant jji pôles, de façon que u, considérée comme fonction de zt, soit une fonction à jjl valeurs.

(') Voir, dans les Œuvres de Riemann, le paragraphe 12 de la Théorie des fonctions abéliennes.

THÉORÈMES GENERAUX SUR UNE SURFACE DE RIEMANN. 5j7

De combien de constantes arbitraires dépendra R? D'abord ses p pôles peuvent être pris arbitrairement sur notre surface; ensuite, d'après le théorème de Riemann-Roch, elle contiendra

constantes arbitraires. Nous n'avons pas à nous préoccuper ici du nombre o\ puisque nous avons supposé y. >> ip — 2. Par suite, il y aura dans R

constantes arbitraires. On peut donc, en général, s'arranger de manière qne 2 u. — p + 1 points de ramification aient des positions données que l'on regarderait comme numériques; il reste alors

1 (x -fc- 2 p — 2 — ( 2 fi. — /> H— i) = 3/? — 3

autres points de ramification arbitraires. Nous pouvons donc dire que notre classe de surfaces de Riemann de genre p dépend de

constantes essentielles arbitraires; ce sont les modules de la surface. A chaque système de valeurs de ces modules correspondra seulement une classe ou un nombre limité de classes de courbes algébriques.

On a admis, dans ce qui précède, qu'on pouvait choisir les 2 p. — p -f- 1 constantes arbitraires Gguranl dans \\ , de manière que, dans la surface transformée, 2 u — p -f- ' points de ramification aient des positions données. Dans quel cas pourrait-il eu être autremenl ? Ceci \\r pourra arriver que si une transformation

où restent des arbitraires, conduit à des surfaces avant les mêmes points de ramification. ( >r ces surfaces sonl en nombre fini; il \ en aura donc nécessairement parmi elles <|ui pourront se transformer uniformément en elles-mêmes à l'aide d'une transformation dépendant de ces arbitraires. Réciproquement, d'ail leurs, -1 la surface admel une telle transformation avec p paramétres arbitraires, le nombre des modules sera augmenté de en effet, l<- nombre des constantes figurant dans la fonction R

Pl< \HI). — II.

578 CHAPITRE XYT.

considérée plus haut devra être diminué de p, puisque, parmi les 1 m — - p -\- 1 arbitraires entrant dans R, on peut considérer que 0 d'entre elles correspondent seulement à la transformation de la surface en elle-même. On a donc alors à faire la différence

ce qui conduit à 3 p — 3 -f- p modules (*). Cette formule générale s'applique alors, même aux cas de p = o et p = 1 . Quand p ^> 1, on a p = o, d'après le théorème de Schwars, ce qui donne les 3p — 3 modules de Riemann. Pour p=n, on a c == 1 , comme nous l'avons dit (Chap. XV, n° 10) en étudiant les transformations en elles-mêmes des courbes du genre un ; il j a donc, dans ce cas, un seul module, comme nous le démontrerons d'ailleurs bien facilement d'une manière directe en étudiant, dans le Chapitre suivant, les courbes de genre un. Enfin, pourp^=o, nous avons vu (loc. cit.) que p = 3; il n'y a pas, dans ce cas, de module, résultat évident a priori, puisque la surface de Riemann peut être ramenée alors au plan simple de Cauchj.

23. J'ai dit que Riemann avait donné une seconde méthode pour trouver le nombre des modules. Cette méthode est trop intéressante pour que nous la passions sous silence; elle va nous conduire au premier exemple de représentation conforme d'une surface de Riemann sur un polygone, représentation qui, dans les travaux récents de Poincaré et de M. Klein, joue un rôle si important. C'est au moyen d'une intégrale de première espèce que Riemann effectue cette représentation. Prenant une intégrale de première espèce, posons

*0, Jo J >

Quand le point (#, 7) parcourt la surface sur laquelle on a tracé les coupures C et D, le point z décrit dans son plan un certain polygone, se recouvrant partiellement lui-même, et dont les

(') M. Klein a, le premier, appelé l'attention sur cette formule. \oir le Chapitre III de son Ouvrage déjà cité : Ueber Riemann' s Théorie der algebraischen Functionen.

THÉOftÈMES GÉNÉRAUX SLR UNE SURFACH DE RIHMA.VN. 5;<)

cotés (correspondant aux deux: bords de chaque coupure) se correspondent deux à denx, de telle sorte qu'on passe du premier au second par l'addition d'une période à j. Ce polygone se recouvrira partiellement lui-même, puisque, en regardant x comme fonction de c, on a nécessairement pour cette variable 2/> — 2 points de ramification qui correspondent aux 2 p — 2 racines de l'équation (en dehors des points multiples)

A chacune des p rétrosections correspond un parallélogramme curviligne. On peut donc concevoir, à titre schématique, le polygone comme formé de p parallélogrammes distincts dont les plans seraient superposés, le passage de l'un à l'autre ayant lieu au moyen de lignes de croisement se terminant aux (2 p — 2) points de ramification. Quant à la nature des côtés du polygone, elle est évidemment indéterminée, comme les rétrosections elles-mêmes, et l'on peut, si l'on veut, les supposer rectilignes. Inversement, si l'on a une telle surface polygonale, il résulte des théorèmes d'existence qu'on peut lui faire correspondre une classe de courbes algébriques. On peut, en effet, démontrer l'existence de fonctions harmoniques uniformes sur la surface polygonale multiplet qui prennent les mêmes valeurs aux points correspondants de deux côtés opposés et qui se comportent comme les fonctions étudiées au paragraphe 7. la périodicité «tant nulle. Il snllit d'employer pour cela les mêmes méthodes qui nous ont permis d'établir l'existence des fonctions uniformes sur une surface de Riémann; nous nous arrêterons «buis un moment sur le cas particulier le plus simple de p = 1 . Ce point étanl établi, voyons de combien de constantes dépend la surface polygonale. La position du point de rencontre d'une ligne C et d'une lii;ne I) dans chaque rétrosection esl arbitraire sur la surface; nous n'avons donc pas â compter comme constantes arbitraires les paramètres définissant les positions d'un sommet de chaque parallélogramme. Les arbitraires, définissant réellement I aire polygonale qui nous occupe, sont les a d périodes 1 1 les positions des points de ramification, ce qui nous donne

arbitraires. Mais I intégrale de première espèce dont on est parti

est arbitraire. On a

Ç Q(x,y)dx fQi(x,y)dx f Qp(x, y) dx

J ~7f~ =CiJ fi ■■+---hW — /f- + (W

On peut choisir les constantes G de manière que p des périodes

aient des valeurs numériques données, et, si p >> i , on peut, de

plus, choisir Gp+l de manière qu'un des points de ramification ait

une position donnée. Il reste donc alors un nombre de constantes

essentielles égal à

ce sont les 3p — 3 modules.

Quand p = i, il n'y a pas de points de ramification; on peut choisir la constante Ci de manière qu'une des périodes ait une valeur donnée. L'autre période sera le seul arbitraire restant. On aura, dans ce cas, un module (' ).

24. Le point essentiel, dans la démonstration précédente, est le fait de l'existence d'une classe de fonctions algébriques correspondant à la surface polygonale multiple. Il suffira d'examiner le cas de p = i ; la question une fois traitée dans ce cas, on passera au cas général, comme on l'a fait pour tous les théorèmes d'existence, en raisonnant toujours de la même manière de proche en proche.

Nous partirons donc d'un parallélogramme ABGD (fig. 58), et nous voulons, en définitive, démontrer directement et a priori l'existence d'une classe de fonctions algébriques correspondant à ce parallélogramme. Nous avons pour cela à démontrer l'existence d'une fonction harmonique de seconde espèce, devenant infinie en O (pris comme origine des coordonnées polaires r et 8), comme

■ j admettant, relativement à AB et CD, la périodicité //, et,

relativement à AD et BC, La périodicité k) nous entendons par là que le prolongement analytique de la fonction au delà de DC est égal à la valeur de la fonction dans le voisinage de AB, augmentée

(!) On trouvera dans le paragraphe 14 du Mémoire de Brill et Nôlher {Math. Ann. . t. VII) une interprétation géométrique des modules regardés comme rapports anharmoniques. Si intéressantes que soient ces considérations, elles ne sont pas si rigoureuses que les méthodes s'appuyant sur les théorèmes d'existence.

THEOREMES GENERAUX SUB UNE SURFACE DE RIEHANN. 58l

de la constante /*, et pareillement avec la constante k pour les deux autres côtés. L'analogie va être complète avec les méthodes employées dans la section précédente. JNous formerons d'abord une fonction harmonique prenant des valeurs arbitrairement

données sur AD et BC (on suppose seulement que des valeurs en D ei A d'une part, en C et B d'autre part, diffèrent de /i), et ayant la périodicité h par rapport à AB et CD. A cet effet, on prendra A'B' parallèle à AB, et CD' parallèle à CD, de manière que les deux parallélogrammes ABCD et A'B' CD' soient identiques. Toutes les fonctions harmoniques qu'on va considérer deviendront infinies en O de la manière indiquée : les u seront définis dans ABCD et les v dans A'B'C'D'. On pari d'une première Ponction w, prenant sur AD et BC les valeurs données, prenant sur AB des valeurs arbitraires, et sur DC les mêmes valeurs augmentées de h. La fonction U\ prendra certaines valeurs sur V'B ; nous formons une fonction e, prenant ces valeurs sur A'B', les mêmes valeurs augmentées de h sur D'C, sur A'D et-B'C les mêmes valeurs que mi et sur DD' et CC les valeurs de i/{ respectivement ru A V el 1)1)' augmentées de h. On formera ensuite //... prenant sur DC les valeurs <le c,, sur AI) ces valeurs diminuées «le A, et sur \l) el BC les mêmes valeurs que u{. On continuera ainsi indéfiniment, formant deui suiirs de fonctions

On démontrera, toujours par les mêmes raisonnements, I existence d'une limite u pour 1rs fonctions <!<• la première ligne, et «l'une limite v pour celles '!<• la seconde. < )n ,i

U ,, =5 Vn I -III \ B

"n | I -■ Pfl "l DC .

58a CHAPITRE XVI.

Tous les u et v prennent d'ailleurs les mêmes valeurs sur A'D

et B'C. On a donc

dans le parallélogramme A'B'CD. D'autre part, vn prend sur D'C les mêmes valeurs que un sur A'B', mais avec addition de la constante h; pareillement, un+{ prend sur AB les mêmes valeurs que çn sur DC, mais avec diminution de h. 11 en résulte que les valeurs de u sur le périmètre du parallélogramme ABA'B', augmentées de A, seront égales aux valeurs de v sur le périmètre du parallélogramme DCD'C'. Il est clair alors que le prolongement analytique de u au delà de DC. pour lequel on peut se servir de la fonction v, remplit bien les conditions requises.

D'une fonction harmonique de seconde espèce on passera à une fonction analytique de seconde espèce. L'analogie est maintenant complète avec la démonstration de l'existence de la classe de fonctions algébriques correspondant à une surface de Riemann.

On voit aussi que les considérations précédentes démontrent a priori l'existence des fonctions doublement périodiques correspondant à un réseau donné de parallélogrammes.

VI. — Des théorèmes d'existence pour l'équation de Beltrami correspondant à une surface quelconque.

2o. Nous avons déjà indiqué (p. 8) comment M. Beltrami a généralisé l'équation de Laplace pour une surface quelconque. Voulant nous placer ici dans les circonstances les plus simples, quoique suffisamment générales, nous allons supposer que l'on considère une surface fermée sans lignes multiples, ayant un nombre fini de trous, et telle que, dans une région suffisamment petite tracée autour d'un point quelconque de la surface, on puisse représenter les coordonnées #, y, z par des fonctions analytiques de deux paramètres p et q, ce que nous pouvons exprimer en disant que la surface fermée est régulièrement analytique. Un tore fournit un exemple simple correspondant au cas d'un seul trou.

Nous avons défini (loc. cit.) ce que l'on doit entendre par fonction complexe u -f- iç d'un point mobile de la surface. L'élément

d'arc de celle-ci étant représenté par

ds*- = E dp* ■+- 2 F dp dq -+- G dq> , on a pour a et r les deux équations

àv <)/> J <)q

dP ~ i/EG — F*

We "" ()/> dq

\^9 ' v/eg-f*

et la fonction u satisfait par suite à l'équation

p du r <te\

y/EG — F* / <ty \ \/EG

Il est important de remarquer que cette équation a un caractère invariant par rapport à ds2, c'est-à-dire que, si Ion prend à la place de p et q de nouvelles variables, la nouvelle équation se déduira du ds- transformé, comme la première se déduit du ds'2 primitif. Ceci résulte de la manière même dont L'équation a été obtenue.

20. D'après nos hypothèses sur la nature analytique de la surface, on peut, dans le voisinage d'un poinl quelconque A de celle-ci, exprimer p et y par des fonctions analytiques de \ ei Y de manière à avoir la carte de la portion «le surface voisine de A sur le plan (X, Y), «cite carte étanl faite avec conservation des angles | voir i. I, p. 58o ). ( )n aura