I. dp* > I da dq h G dq* - - 7 ,/\ - • d

Si maintenant <m considère u et v non plus comme fonctions de/>, y. mais comme fonctions de X et ^ , <>n conclut, «le l'équation précédente et de l'équation 1 p. 8 «le ce \ olurae |

<1lll -+- d9* = A I Y. dp* > I dp (h/ -f- ( \ (I.

que les équations (a) deviennent

du

dv

àX =

du

dv

"Jx'

et, par suite, l'équation ([3) se transforme en l'équation de Laplace

Il résulte de là que, si l'on se borne à une aire suffisamment petite sur la surface, l'équation de Beltrami peut, au moyen de la Carte géographique indiquée, être transformée en l'équation de Laplace. Les problèmes d'existence que nous avons résolus pour cette dernière sont, par suite, résolus pour l'équation (jj).

Il serait sans intérêt de se borner à une portion suffisamment petite de la surface, mais le procédé alterné peut évidemment être appliqué à l'équation ([3), qui jouit, d'après ce que nous venons de dire, des propriétés essentielles de l'équation de Laplace. Aucune explication n'est alors nécessaire pour voir que l'on pourra considérer sur la surface non plus seulement une aire suffisamment petite, mais une aire quelconque. Tous les problèmes traités dans les sections précédentes peuvent donc être posés et résolus de la même manière.

Si nous appelons fonction potentielle sur la surface toute solution de l'équation ((3), nous pourrons former, après avoir tracé des rétrosections C et D sur notre surface, une fonction potentielle de première espèce admettant des périodicités données. La signification de cet énoncé est immédiate et a été déjà rencontrée en remplaçant seulement potentielle par harmonique. La fonction potentielle dont nous parlons sera continue sur toute la surface; elle admet une périodicité A par rapport à une coupure C, si son prolongement analytique au delà de la coupure est identique à la valeur qu'elle a de l'autre côté de cette coupure augmentée de ± k suivant le sens dans lequel la coupure est traversée.

Des fonctions potentielles de première espèce, on passera, en

THÉORÈMES GÉNÉRAUX SLR LNK SURFACE DE MhMANN. 585

considérant la fonction associée v, aux fonctions complexes

u -h iv,

d'un point variable sur la surface. On aura ainsi la notion de fonctions complexes de première espèce, continues sur toute la surface, et admettant des périodes dont la partie réelle peut être arbitrairement choisie. Il n'y a pas à insister sur tous ces points; l'analogie est complète avec le cas où, au lieu d'envisager une surface quelconque, nous avions affaire à l'équation de Laplace et aux feuillets multiples d'une surface de Riemann. On aura aussi p fonctions complexes de première espèce linéairement indépendantes, et p seulement; c'est, comme précédemment, une conséquence de ce que, le long du contour K, dont il a été tant de fois parlé, on a

u dv > o,

1 intégrale étant prise dans un sens convenable.

Quant à b, démonstration de celte inégalité, elle esl immédiate en décomposant la surface en portions assez petites. On a pour chacune d'elles l'inégalité précédente avec l'aide de la carte de cette petite portion, et il suffit d'ajouter les inégalités.

27. On obtiendra de la même manière les fonctions complexes de seconde espèce, mais il la. il définir un pôle d'une fonction complexe de seconde espèce. Un point de la surface sera un pôle I"»".- la fonction complexe a-f-iV, si dans La carte géographique, relative au voisinage de ce point, sur le plan « V ï ». la fonction u -h iv qui devienl nue fonction analytique ordinaire de \ -+ H ;' Pour P^le le point correspondant au point donné de la surface. Nous arriverons enfin, suivant toujours La même marche que dans la 8ectioD [II'à ,,r^ fonctions complexes u \ iv, uniformes sur toute In surface et n'ayant que des pôles.

Relativement à une fonction complexe F = u-hiv, uous ,

s,,,|s établir ,(' même théorème qu'à la page 5i6 : L'équation

Cétant uneconstante arbitraire, a toujours le même nombre déracines su, h, surface. On pourrait encore employer ici une

formule analogue à celle de Cauclij pour trouver le nombre des racines, mais il suffit de remarquer qu'il n'est pas possible que le nombre des racines diminue (les racines étant comptées avec leur degré de multiplicité) quand C varie d'une manière continue. On pourrait seulement craindre que des racines ne disparussent au moment où deux ou plusieurs racines deviennent égales, mais ceci est impossible si l'on se reporte à la carte géographique pour laquelle on sait, en appliquant les théorèmes classiques, que les racines d'une fonction d'une variable complexe ne peuvent pas disparaître en devenant égales.