Considérons maintenant deux fonctions complexes

u -hïp et ii\ -h ivx

sur la surface, fonctions uniformes et n'ayant que des pôles. Si l'on donne à«-f iv une valeur arbitraire, il y aura un certain nombre m de points de la surface correspondant à cette valeur de u 4- îv, et si la seconde fonction uK -f- W\ a été prise arbitrairement, elle aura ni valeurs distinctes. Or nous savons (p. 8) que,

si l'on pose

F = u -h iv, Ft = ui + iVi,

F, est une fonction analytique ordinaire de F. Quelle sera la nature de cette fonction ? A une valeur de F correspond un nombre fini de valeurs de F { ; d'autre part, F{ est une fonction de F qui ne peut avoir d'autres points singuliers que des pôles et des points critiques algébriques. // y a donc entre F et F, une relation algébrique

et à un point arbitraire de la surface correspond un seul point (F, F, ) de cette courbe.

Nous avons donc établi ce théorème fondamental ( K ) :

(*) Ce théorème a été énoncé par M. Klein dans son Ouvrage déjà bien des fois cité sur la Théorie des surfaces de Riemann. Le mode de démonstration de M. Klein est extrêmement intéressant, quoiqu'il ne prétende pas à être rigoureux au point de vue analytique. C'est à une expérience électrique fictive faite sur la surface que l'illustre auteur emprunte les éléments de ses démonstrations. L'existence des fonctions potentielles avec leurs singularités diverses se trouve

I la surface S donnée dans l'espace et ayant p trous correspond uniformément une courbe algébrique de genre p.

Nous disons que le genre de la courbe / est égal au nombre p des trous de la surface S; ce qui résulte immédiatement de ce qu'il y a p fonctions complexes de première espèce sur la surface linéairement indépendantes (§ 26).

29. Nous avons encore à faire une remarque importante. Envisageons la surface ~ de Riemann à /// feuillets représentative de la fonction algébrique F, de F. Nous avons dit que S <'l S se correspondaient point par point; mais, de plus, la relation

du- H- dvr = À ( E dp'2 h- 2 F dp dq -h G dq - )

montre que cette correspondance a lieu avec conservation des angles. On peut donc dire que l'on a une carte géographique de la surface S sur ta surface de Riemann S.

30. Appliquons au tore les généralités qui précèdent. Désignons par /• le rayon du cercle générateur et par R la distance de son centre à Taxe (/*« ; \\ ). On pourra représenter le tore par les

équations

x = ( H — r cosç ) co^i>,

y = (R — r cos» ) simj/,

z = r si ii 5p,

où la signification géométrique des angles cp et 6, qui varient de <» à 27:, se voit immédiatement. On aura donc pour L'élément d'arc de la surface

que l'on peul écrire