r ' -m-+-db

.iin-i démontrée en quelque sorte expérimentalement. ('ii rient de voir que les considérations employées pour les surfaces de Riemann et l'équation de Laplace s'étendent sans peine a l'équation de Beltrami <"i i une sui foi <• quelconque. Rela tivemenl h celle-ci, nous avons seulement fait l'hypothèse qu'elle était régulièrement analytique; on pourrait traiter, je <i<u~. de la même manière, des cas

i ii- limples, ceux notamment où la surface «• des arrêtes, nais j< ne veux p.i-

U i .i|i|n ofondir i el te question.

ou, enfin, en posant

t/0 R — rcoscp

dsn- = (R — rcoscp )2[û?X*+rfY* J.

Cette dernière formule nous donne tout de suite la carte géographique avec conservation des angles, de la surface du tore sur la surface d'un rectangle. En effet, quand o et <L varient de o à it, le point (X, Y) décrit dans son plan Taire d'un rectangle dont les quatre côtés sont

x f rd(?

./„ R — r cosco

Que sont ici les fonctions complexes u + iv uniformes sur le tore ? Ce sont nécessairement des fonctions analytiques de X -+- i Y ; elles admettront les périodes

. /„ R — /' coscp

Les fonctions doublement périodiques ayant ces deux périodes définissent une classe de courbes algébriques (') : c'est la classe correspondant au tore.

31. Indiquons un exemple, dune surface ayant p trous, auquel on puisse appliquer les considérations générales que nous venons de développer. Je considère, comme au Chapitre XIIÏ, un disque plan à p trous, limité par une courbe extérieure C et p courbes intérieures C,, . . . , C;,, et tracé dans le plan (#, y).

Toutes ces lignes sont supposées régulièrement analytiques. On peut concevoir une fonction analytique/ ' (x, y) des deux variables réelles et x et y s'annulant, en changeant de signe, quand (x, y) traverse les courbes C, C1? ..., C^, et étant positive et différente de zéro dans Faire A limitée par ces courbes. Si, par exemple, les courbes sont des cercles, f (#, y) sera le produit pris avec un signe convenable des premiers membres des équations de ces

(') Ce point a élé démontré à la fin de la section précédente. Nous le retrouverons d'une manière plus élémentaire au Chapitre suivant.

THÉORÈMES GÉNÉRAUX SUR UNE SURFACE DE RIEMANN. 58g

cercles. J'envisage maintenant la surface

Cette surface sera symétrique par rapport au plan des (x, )'), elle passera par les courbes considérées et aura visiblement p trous. Elle sera régulièrement analytique. On le voit de suite pour tout point (x, y) de l'intérieur de l'aire A; la chose est moins immédiate pour un point d'une courbe limite. Pour le voir, (#0, y0) étant un tel point, posons

a étant une quantité très petite. Pour x = x0, a = o, nous avons une racine simple y = y0. Nous pouvons donc développer y suivant les puissances de x et a, dans le voisinage de x = x0 et x = .o; soit 6 (#, a) ce développement. On aura alors la surface définie par les équations

< ■»• qui montre que la surface est analytique dans le \oisinage du point i .r0. )0. O ). On a supposé seulement qu'en (#0, y0) la tangente à la courbe limite n'est pas parallèle à O)', mai-, -il en était ainsi, on intervertirait x et y dans les raisonnements. Nous avons donc luen un exemple d'une surface à /> Irons régulièrement analytique dans toute son étendue. A cette surface correspond, d'après le théorème général, une classe de courbes algébriques.

32. Un cas limite de la surface précédente esl extrêmement intéressant, .le considère l;i surface

où z est une constante positive. Supposons que z tende vers zéro; aou9 aurons un»' surface se rapprochant de plus en plu- des deux côtés du disque plan. La classe de courbes algébriques correspondant à notre surface deviendra | >< >u r £ = <» une certaine classe limite, et I on esl ainsi conduit au théorème suivant :

5gO CHAP. XVI. — THÉORÈMES GÉNÉRAUX SUR UNE SURFACE DE RIEMANN.

A tout disque plan à p trous on peut faire correspondre une classe de courbes algébriques.

Il y a une correspondance uniforme entre les points d'une courbe algébrique de cette classe et les points du disque considéré comme ayant deux faces. Le remarquable théorème qui précède est dû à M. Schottky ('), qui y est arrivé par une tout autre voie, en rattachant la question au principe classique de Dirichlet.

Le résultat précédent est très important pour l'étude de la représentation conforme des aires limitées par plusieurs contours. Etant donnés deux disques plans ayant le même nombre p de trous, peut-on faire une représentation conforme de ces deux disques Y un sur l'autre, de manière qu'à un point du premier disque ne corresponde qu'un point du second et inversement ? La question était difficile, mais nous sommes maintenant en mesure d'y répondre en quelques lignes. INous pouvons faire la carte géographique de chaque disque (pris avec ses deux bords) sur une surface de Riemann convenable; cette surface de Riemann est relative à une courbe quelconque de la classe correspondant au disque. Si l'on peut faire, de la manière indiquée, la représentation conforme des deux disques l'un snr l'autre, les deux surfaces de Riemann et, par suite, les deux courbes se correspondront point par point. On voit donc que la représentation conforme des deux disques est, en général, impossible; les conditions reviennent à l'identité des deux classes de courbes algébriques correspondant à Y un et l'autre disque. Je me borne sur ce point à ces vues, peut-être un peu rapides, en renvoyant au Mémoire de M. Schottky pour l'étude de la représentation conforme des aires multiplement connexes.

(l) Nous avons déjà eu l'occasion de citer (p. 333) le beau travail de M. Schottky; c'est un Mémoire fondamental à plus d'un titre.