I. — Des courbes unicursales

1. Nous nous proposons, dans ce Chapitre, de faire une étude des propriétés essentielles des courbes de genre zéro et des courbes de genre un. Commençons par les courbes correspondant dp = o, qu'on appelle courbes unicursales (,).

D'après la formule générale (Cliap. XIII, n° 17)

2 Jmd 1

on aura pour les courbes unicursales

Telle esl lu condition nécessaire ci suffisante pour que le ^cnre SOil nul. Il n'y aura pas dans ce cas de courbe adjointe d'ordre m — 3 .

Les courbes unicursales jouissent (Tune remarquable propriété: Vy/i peut exprimer les coordonnées (#, y) d'un <juelconque de leurs points en fonctions rationnelles d'un paramètre*

Pour le démontrer, considérons une adjointe d'ordre m — 2; elle dépend d'une manière non homogène de ni — a constantes (3).

M» Les mots de courbée unicursales oui été employés pour la première fois pai M. Caylej [voir Catlby, Comptes rendus^ 1 LXII).

(5) <»ii ,i % h dans mm Chapitre antérieur que le nombre <\<- ces constantes pour p quelconque, /// - • ■ />. La numéral est d'ailleurs immédiate.

Nous pouvons donc former un réseau

d'adjointes d'ordre m — 2 passant, quel que soit X, par m — 3 points choisis arbitrairement sur la courbe. Combien y aura-t-il de points de rencontre variables avec X? On a déjà un nombre de points de rencontre fixes représenté par

*Ly.ii{i — 1 ) -+- m — 3 ou m (m — 1 ) — 1 .

Il reste donc un seul point de rencontre mobile, et, par suite, ses coordonnées x et y sont des fonctions rationnelles de A.

Considérons inversement une courbe définie par deux équations

(0 ^=R(X), jK^R^X),

R et R, étant des fonctions rationnelles d'un paramètre X. Cette courbe sera de genre zéro.

Si le genre n'était pas nul, la courbe aurait une intégrale de

première espèce

Q(x,y)dx

Or, en remplaçant x et y par les expressions ( 1 ), on aurait une intégrale portant sur une fraction rationnelle P(X)

qui devrait rester finie pour toute valeur, finie ou infinie, de X? ce qui est impossible.

2. Nous avons exprimé plus haut les coordonnées x et y d\in point ai*bitraire de la courbe en fonctions rationnelles d'un paramètre. Pour trouver ces expressions, il a fallu introduire en général certaines irrationnelles par rapport aux coefficients de la courbe, puisqu'on doit prendre m — 3 points sur la courbe. On peut se demander comment on pourrait faire la représentation paramétrique pour une courbe unicursale, en introduisant le moins possible d'irrationalités par rapport aux coefficients de

COURBES DES GENRES ZÉRO ET UN. 5g3

l'équation de la courbe unicursale. Cette question s'est présentée à M. JNother dans une recherche relative à certaines surfaces alerébriques ( * ). Pour y répondre, M. Nother procède très élégamment de la manière suivante.

Prenons trois adjointes arbitraires d'ordre ni — 2, ce qui peut se faire sans introduire aucune irrationnalité par rapport aux coefficients; soient P, (a?, y), P2 (x,y), P3 (x, y) les trois polynômes adjoints correspondants. Je pose

= Pt(x,y)

y P3(x,y) Pi(*,r)"

A la courbe unicursale proposée

va correspondre une courbe

et, si les trois polynômes adjoints d'ordre m — 2 sont arbitraires, les deux courbes se correspondront point par point. Cherchons le degré de la courbe F; il est égal au nombre des points de rencontre, avec/, du réseau

*i Pi(>,7)-ha2 V2{x, /) + a3P3(a?, y) = o,

en dehors des points multiples, c'est-à dire à

m 1 m — 1) — £x/i(t — i)ou m — a.

Noun avons «lune transformé la courbe en une courbe d'ordre ni — 2. On peul continuer ainsi de proche en proche. Si m esl Impair, on arrivera â une cubique; si m esl pair, à une conique.

Dans le premier cas 1 m impair) les coordonnées de la cubique unicursale, qui a un seul point double, peuvenl être exprimées en touchons rationnelles d'un paramètre, sans introduction d'au-

(') V'TiiKn. r,i,,r Flâcheriy welche Schaaren vationaler Curven besitzen

( Math. Annalcn, t . 1 1 I PU \ni>. — 11,

cune irrationalité par rapport aux coefficients de son équation, qui sont eux-mêmes des fonctions rationnelles des coefficients de la courbe proposée. Donc, pour une courbe unicursale d'ordre impair, on peut n'introduire aucune irrationalité par rapport aux coefficients dans la représentation paramétrique.

Il n'en va pas de même pour m pair. Nous sommes ramené dans ce cas à une conique, et, en général, nous ne pouvons pas faire la recherche des expressions des coordonnées en fonctions rationnelles d'un paramètre, sans introduire une irrationalité qui sera une racine carrée d' une fonction rationnelle des coefficients. Il en sera donc de même pour la courbe unicursale proposée.

Nous pouvons maintenant établir un intéressant théorème de M. Nother sur une classe de surfaces algébriques. Prenons une surface algébrique, jouissant de la propriété suivante : elle possède un faisceau linéaire de courbes unicursales, qui peuvent être obtenues par l'intersection de la surface donnée

f{*,yi z)~o

avec le faisceau de surfaces

où P et Q sont des polynômes en %, y, z. Il est supposé que le faisceau précédent coupe la surface suivant une seule courbe T variable avec À, et que cette courbe est unicursale. Nous nous proposons d'établir que la surface est unicursale, c'est-à-dire qu'on peut exprimer les coordonnées d'un point arbitraire de la surface en fonctions rationnelles de deux paramètres. Considérons le faisceau de plans

A -h XB = o (A et B étant du premier degré),

et faisons la perspective V de la courbe T (correspondant à la même valeur \ du paramètre) sur ce plan, en prenant un point de vue fixe mais arbitraire. Notre surface f correspond ainsi point par point à une surface f lieu des courbes T', et, en général, la droite (A = o, B = o) sera une droite multiple de/'. Le théorème énoncé est donc à démontrer pour la surface /', qui a une certaine droite multiple (A, B), et qui est telle que tout plan

COURBES DES GENRES ZERO ET UN- 5<j5

passant par cette droite la coupe en outre suivant une seule courbe unicursale (qui est la courbe T); désignons par ni le degré de V .

Prenons, dans le plan

ni — 4 points arbitraires déterminés rationnellement en X. C< !S points déterminent trois adjointes d'ordre m — 2 avec lesquelles nous faisons la transformation indiquée plus haut. Nous Minimes par suite ramené à une surface analogue à J\ mais où m esl remplacé par m — 2. On peut continuer ainsi de proche en proche.

Si m est impair on est ramené à une surface ayant une droite multiple, et telle que tout plan passanl par la ligne multiple la coupe suivant une droite (en dehors delà droite multiple); la surface est alors évidemment unicursale.

Si ni est pair, la question est moins simple, et Ton a une surface avec une droite multiple, et tout plan passant par celle-ci coupe la surface suivant une conique (en dehors de la droite multiple). Suivons ici une autre marche (' 1 que M. Nôther. La droite (A, B) étant supposée à l'infini dans la direction du plan des (a?, y), l'équation de la surface peut prendre la forme

a x--h bxy ■+■ c y'2 = 1 ,

où a, b et c sont des fonctions rationnelles de z. Nous allons voir que l'on peut satisfaire identiquement à l'équation précédente, en prenant pour x et y des fonctions rationnelles de z. La question revient évidemment a faire voir, étant donnée une expression

où \. B, C sont des polynômes de degré pair > ///. que l'on peut déterminer des polynômes u et v en -. de telle sorte que l'exprès sinn devienne le carré d'un polynôme en c. Or ^>ii ;;. le degré <le u et r: le nombre des constantes < non homogènes 1 esl 2u • 1 pour deui polynômes. Or, en substituant, ori a m» polynôme de > m f-2;j.; le nombre des conditions, pour qu'il soit un

(] i l i' m. Sur lu résolution de certaines équations " deui làles,

et Sur un théorème de M. Nother {Bulletin des Sciences mathématiques ,

5g6 CHAPITRE XVII.

carré parfait, est m -\- y.. Or on a