X -+- I Z m -h [JL

à partir d'une certaine valeur de pu Par suite, on pourra déterminer u et s? de manière que

A vfl -+- B î<p +Cp2

soit un carré parfait. En revenant à notre équation ci-dessus

ax2 ^r- bxy -h cy2 = i, /

on y satisfera en prenant pour x et y des fractions rationnelles de z.

Pour une valeur donnée de #, on peut donc obtenir rationnellement un point de cette conique et, par suite, exprimer x el y en fonction rationnelle de z et d'un autre paramètre. La surface est donc unicursale.

3. Dans la représentation paramétrique donnée au paragraphe 1, nous avons pour une courbe unicursale

i = R(X), ^VRjCX),

et, d'après la manière même dont nous avons procédé, on a pour A

p une fonction rationnelle — — -de x et y. A un point arbitraire de

la courbe ne correspond donc qu'une seule valeur de X. Il j a des points particuliers pour lesquels il en est autrement : ce sont les points multiples. En un point multiple d'ordre i, les deux polynômes adjoints P4 et P2 sont nuls, et il y a i valeurs pour X correspondant aux i branches de la courbe au point multiple.

Imaginons qu'on ait une seconde représentation paramétrique

de telle sorte aussi que 9 soit fonction rationnelle de x et y. La nature de la dépendance entre X et 9 s'aperçoit immédiatement; à une valeur arbitraire de X ne correspondra qu'une valeur de 9 et inversement. La relation est d'ailleurs algébrique. Donc X est une fonction rationnelle de 9, et 9 est une fonction rationnelle de X ;

COURBKS DES GENRES ZÉRO ET UN. 5g7

on doit, par suite, avoir

a, 6, c, ^ étant des constantes. On peut donc dire que, abstraction faite dune substitution linéaire sur le paramètre, il n'y a qu'une seule représentation paramétrique, de la nature indiquée, pour une courbe unicursale (').

Je n'insisterai pas davantage sur les courbes unie urs aies. Une étude très complète en a été faite par Clebsch dans un Mémoire auquel nous renverrons (2).