II. — Des courbes du genre un

i. Les courbes de genre un sont particulièrement intéressantes à cause de leurs rapports avec la théorie des fonctions doublement périodiques. Pour p = i, on aura

On a ici un seul polynôme adjoint d'ordre m — 3 et, par suite, une seule intégrale de première espèce (à un facteur constant près).

Nous commencerons par chercher si les adjointes d'ordre ni — 2 ne peuvent pas, comme pour les courbes unicursales, conduire à une représentation paramétrique intéressante. Les courbes adjointes d'ordre /// — ■>. dépendent ici, d'une manière non linéaire, de m — i paramètres entrant d'une manière non homogène. On peul donc former un faisceau d'adjointes d'ordre m — 2

passant par/// — 2 points arbitrairement elmisis sur la courbe/".

(') On pourrait avoir une représentation paramétrique rationnelle telle qu'à

un point arbil 1 ,m ■<• r. r de la courl respondissenl plusieurs valeurs de /

< Mi \- 1 1 .1 | l.i i;<>| m. Mal h . [ finale fl . I . I \ | < . on mm I on peut, |».n Un Calcul v

gulier, introduire un autre paramètre, de façon .1 avoii un.- nouvelle représenta 1 ion qui Boit 'lu 1 \ pe él adié plu- haut .

(2) Clbbsch, Ueber diejenigen ebenen < urven deren Coordinaten rationaU Functionen einet Parametert ùnd Journal de i relie, 1. 64).

Le nombre des points de rencontre variables avec X sera m(m — 2) — (m — 2) — "LcLti{i — 1) ou 2.

Nous n'aurons donc, pour déterminer x ely en fonction de X, qu'à résoudre une équation du second degré. On aura, par suite,

x =if[\ v/HÔ)],

y et o étant des fonctions rationnelles de X et de y/R(^X), en désignant par R (X) un polynôme en X qu'on peut supposer n'avoir que des racines simples (le facteur de puissance paire, pour les racines multiples, étant sorti du radical).

A une valeur de X correspondent deux points (x, y) à cause des deux déterminations du radical. A un point arbitraire (.#, y) de la courbe / correspondra une seule valeur de X, ce qui est évident

d'après (2); il correspondra aussi une seule valeur dey/R(X), l'autre détermination du radical donnant le second point de rencontre de l'adjointe (2) avec/.

Une question très intéressante se présente : Quel est le degré du polynôme R (X)? On peut, pour y répondre, suivre deux voies différentes, entièrement analogues à celles que nous avons suivies en étudiant les courbes du genre deux (p. 544)*

Je dis que le degré de R (X) ne pourra être que trois ou quatre. En effet, d'après ce que nous venons de dire, les deux courbes

se correspondent point par point, puisque à un point arbitraire (X, ^i.) de la seconde courbe ne correspond qu'un point (#, y) de fi et inversement. Les deux courbes sont donc du même genre, c'est-à-dire du genre un, et, par suite, le degré du polynôme R (X) sera nécessairement égal à trois ou à quatre, les deux cas se ramenant d'ailleurs, comme nous l'avons vu autrefois, l'un à l'autre.

La seconde démonstration est plus directe, mais plus longue. On procédera comme nous l'avons fait dans l'étude des courbes de genre deux (p. 5 44 ) • Le nombre cherché sera égal au nombre

COURBES DES GENRES ZERO ET UN. 5gg

des courbes du faisceau

P1-4-XPa==0

tangentes à la courbe f. Après avoir supprimé les mêmes solutions étrangères, il restera quatre courbes de ce faisceau tangentes à/, et le degré du polynôme R (X) est, par suite, égal à quatre. On a donc le théorème suivant :

Les coordonnées dC un point quelconque d'une courbe de genre un sont des fonctions rationnelles a" un paramètre et de la racine carrée d'un polynôme du quatrième degré par rapport à ce paramètre ( ').

o. On peut donner une autre forme à l'important théorème qui précède. Si l'on pose

rh d\

nous avons vu (Ghap. XII, n° 7) que cette relation définit une fonction doublement périodique de s, soit

>> = <pO), et l'on a évidemment

11 en résulte que x et y sont des fonctions doublement périodiques du paramétre z\ de plus, à un point arbitraire ( .r, y) et,

par suite, à une valeur de a et de \ B.(X), ne correspondra qu'une valeur de 3, abstraction faite de multiples des périodes. Nous pouvons alors énoncer le théorème suivant :

l)<ms une courbe de genre un, les coordonnées x et y peuvent primer en Jonchons doublement périodiques d'un paramètre S, et cela de telle manière qu'à un point arbitraire de la et, orbe ne corresponde qu'une valeur de s, abstraction faite

de multiples des périodes.

(') Ce théorème est dû à Clebsch, Voir *-<>n Mémoire: Çfeber diejenigen Curven ■1 Coordinaten $ich '//s elliptische Functionen eines Parameten davtttllen

lasaen {Journal de Crctt>\ t. (iî).

6. Nous donnerons dans la section suivante une sorte de réciproque du théorème précédent; mais, pour le moment, proposonsnous de retrouver le même théorème en nous plaçant à un autre point de vue que le point de vue algébrique du paragraphe 4. Nous allons considérer, à cet effet, l'intégrale de première espèce relative à la courbe de genre un, et chercher la nature de la fonction obtenue en faisant l'inversion de cette intégrale. Soit donc la relation

(3) rrQl^r)^=,,0,

équivalente à l'équation différentielle

Q( x, y) dx .

fl = dz.

Les conditions initiales étant #,= a?0, y=y0 pour z = z0, quelle sera la nature de la fonction x de z ainsi définie? Nous voulons montrer que x est une fonction, uniforme dans tout Le plan, n'ayant d'autres points singuliers que des pôles.

En supposant que (j?0, y0) ne soit pas un point de ramification ou un point multiple de la courbe, la fonction x sera une fonction holomorphe de z dans le voisinage de z = z0, d'après le théorème fondamental (p. 3^4) sur l'existence de l'intégrale des équations différentielles. En étendant de proche en proche la fonction, le théorème fondamental cessera d'être applicable quand la variable z atteindra une valeur pour laquelle Q (x, y) == o ; mais cette circonstance ne peut se présenter pour un point simple de la courbe, puisque l'adjointe d'ordre m — 3, dans les courbes du genre un, ne rencontre la courbe qu'aux points multiples. Nous devons maintenant examiner le cas où le point correspondant (j?, y) de la courbe serait un point multiple ou bien un point de ramification, ou serait à l'infini. Il n'y a aucune difficulté dans le cas du point multiple, car, lorsque (x, y) se rapproche d'un point multiple sur une branche déterminée, le

quotient ' — reste une fonction holomorphe de x ne s'annu-

lant pas en ce point, puisque la courbe Q = o ne peut avoir aucune tangente commune avec f en un point multiple [sinon, le nombre des points de rencontre de y et de Q s'élèverait au-dessus de m [m — 3)] ; x restera donc fonction holomorphe de z.

COURBES DES GENRES ZÉRO ET UN. 6ol

Pour le cas du point de ramification (a, b), on posera

dx' et Ton aura alors, pour -y^-> une fonction holomorphe de x dans

le voisinage de x = o; il en résulte que x\ et par suite x, resteront des fonctions holomorphes de s, dans le voisinage de la valeur de z pour laquelle x = a.

Enfin, si, pour 3 = a, x devient infinie, le point (x, r) séloignant à l'infini sur une des branches de courbe, on posera

et l'on voit encore de suite que ^7- sera une fonction holomorphe

de x' dans le voisinage de x = o ; aucun point critique ne peut encore apparaître.

Nous pouvons ici faire les mêmes observations qu'à la page io- ; les remarques précédentes ne suffisent pas à établir querr est une fonction uniforme de z dans tout le plan; mais il n'y a qu'à procéder comme à l'endroit cité pour rendre la démonstration rigoureuse. En isolant les points de ramification et les points à L'infini, on prouvera, sans rien changer aux raisonnements, que l'extension de la fonction pourra se faire de proche en proche à laide d'un cercle de rayon p invariable, de telle sorte que la fonctionou son inverse soit holomorphe à l'intérieur d'un cercle avant pour centre wn point quelconque du plan et un rayon é^al à p. Il en résulte que x est alors une fonction, uniforme dans tout l/> plan . n'ayant pour points singuliers <j(ic des pôles.

Le même raisonnement s'applique sans modification à r, qui sera aussi une fonction uniforme de ;.

7. Il est facile de se rendre compte de la nature des fonctions uniformes .r ci )- <!<• r que nous venons <le rencontrer. Leur pro prié té capitale est la double périodicité.

Rappelons-nous, en efiet, que L'intégrale

r' Q 1 y dx

a deux périodes w et a>' (Ghap. XIV). En posant

tu = c'-h ic", u)' = oT h- jW,

on a l'inégalité fondamentale (p. 4^2)

inégalité qui exclut l'égalité. 11 en résulte que le rapport des périodes

est nécessairement imaginai? e

On voit alors qu'à une même valeur de x correspondent, en choisissant convenablement le chemin allant de x0 à x, une infinité de déterminations de l'intégrale différant de sommes de multiples des périodes co et co'. On aura donc, pour x et y, des fonctions doublement périodiques de z : c'est le théorème auquel nous étions déjà arrivé par une autre voie. A un point arbitraire (x, y) de la courbe ne correspond manifestement, d'après la relation (3), qu'une seule valeur de z, abstraction faite de sommes de multiples des périodes ( * )

8. Je réserve, pour une autre partie de cet Ouvrage, l'inversion effective de l'intégrale de première espèce pour laquelle il est nécessaire d'introduire les transcendantes de Jacobi. Nous avons montré, au paragraphe \Q2 du Chapitre XII, comment, dans le cas de l'intégrale elliptique, on peut former certaines fonctions entières jouissant, par rapport aux périodes, d'une propriété remarquable» On peut ici former une combinaison analogue que je me contenterai d'indiquer (2); il est facile de former une fonction

(') Si l'on veut reprendre le point de vue auquel nous nous sommes placé, avec Riemann, au paragraphe 23 du Chapitre XVI, on dira que l'inversion de l'intégrale de première espèce permet, pour /? = i , de faire d'une manière uniforme la représentation conforme de la surface de Riemann sur la surface d'un parallélogramme.

(2) Voir le paragraphe 10 du Chapitre III de mon Mémoire Sur les fonctions algébriques de deux variables.

COURBES DES GENRES ZÉRO ET UN. 6o3

de degré m — i en x et r, et telle que la combinaison

soit une. fonction entière de z. Cette fonction entière joue ici le même rôle que la fonction Al (z) de A\ eierstrass.

9. Nous aurons encore à signaler plus tard certaines propriétés des courbes de genres zéro et un. Ainsi l'on peut faire, avec Hermite (x), la remarque que les courbes de genres zéro et un sont les seules pour lesquelles l'inversion de l'intégrale abélienne

l{x, y)dx

(a étant rationnelle en x et y) donne, pour x et y, des fonctions uniformes de z. Ce sont des questions qui trouveront leur place dans l'étude des équations différentielles de Briot et Bouquet. J'ai même montré (2), d'une manière plus générale, que les courbes des genres zéro et un sont les seules pour lesquelles l'inversion d'une expression

).(.»■, v. dx

dx = z

Çk étant rationnelle en x et y) donne pour x et y des fonctions uniformes de z.

(*) Hermitb, Cours lithographie de l'École Polytechnique, 18 (:) Voir le Chapitre \l de mon Mémoire cité plus liant; j'.j étudie incidemment d'une manière très sommaire les expressions (4) doul M. Appell faisait a la même t''[i'Hjnc une élude très approfondie dans san Mémoire Sur les intégrales des fonctions a multiplicateurs | icta mathematiea. t. Mil). Relativement à la représentation paramétrique des coordonnées d'un point d'une courbe algébrique, on peul remarquer que les courbes des genres zéro et un s<>ni les seules pour lesquelles on puisse exprime] x et y en fonctions uniformes d'un paramètre, n'aynnt que des points tinguliers essentiels isolés, comme il résulte d'nn théorème généra] que ('ai établi ( icta mathematiea, t. XI). On peut exprimer les coordonnée* d'un point d'une courbe algébrique de genre supérieur à un, au moyin des fonctions fuehsiennes de M, Poincaré, mais alors les points singuliers essentiels de ces transcendantes ne sont pas isolt

6o4 CHAPITRE XMI.