III. — Généralités sur les fonctions doublement périodiques
10. Nous avons déjà parlé des fonctions doublement périodiques (Chap. XII). Les généralités sur ces fonctions, œuvre de Liouville et de M. Hermite, sont devenues si classiques, et ont été tant de fois exposées (') que nous ne croyons pas devoir nous y arrêter longuement. Je vais seulement faire quelques remarqiïes qui auront trait aux courbes de genre zéro ou un.
Considérons deux fonctions doublement périodiques aux mêmes périodes
Tout d'abord il existe entre elles une relation algébrique, comme l'ont remarqué simultanément Briot et Bouquet et M. Méraj. La démonstration de ce résultat est immédiate. A une valeur arbitraire de x correspond, dans chaque parallélogramme de périodes, un nombre limité (toujours le même) de valeurs de z. La fonction y de x n'a donc qu'un nombre limité de valeurs pour chaque valeur de x; elle n'a d'autre part évidemment que des pôles ou des points critiques algébriques. On en conclut que y est une fonction algébrique de x. Nous aurons donc
On aurait pu arriver au même résultat par une autre voie plus élémentaire. En faisant sur x et y une substitution linéaire, nous pouvons supposer que x et y aient les mêmes pôles simples, en nombre pi, dans chaque parallélogramme de périodes.
Prenons un polynôme f (x, y) de degré m, à coefficients indéterminés, mais sans terme indépendant de x et y.
Quand on substitue à x et y dans /les deux fonctions doublement périodiques, on a une fonction doublement périodique qui
(l) Consulter, en particulier, le Cours lithographie de M. Hermite, le Traité sur les fonctions elliptiques de Briot et Bouquet, le Traité d'Analyse de M. Camille Jordan, le grand Traité de Halphen, l'Ouvrage de MM. Tannery et Molk, et celui de MM. Appell et Lacour. Au point de vue élémentaire et pratique, le Précis de M. Lucien Lévy doit être recommandé.
COURBES DES GENRES ZERO ET UN. 6o )
a mu. pôles, en tenant compte des degrés de multiplicités ; il ne faudra pas plus de mu. — i conditions, pour écrire que ces pôles disparaissent. Or, si l'on prend m de manière que
on pourra choisir (et au moyen d'équations linéaires et homogènes du premier degré) les coefficients de /, de manière que les pôles disparaissent. On aura donc alors
f(xi y) — G (G étant une constante),
ce qui donnera une relation algébrique entre x et )', ne se réduisant pas à une identité, puisque f n'a pas de terme indépendant de x et y. Cette relation pourra n'être pas irréductible, mais parmi les relations irréductibles auxquelles elle donnera alors lieu, une certainement sera vérifiée identiquement quand, à la place de x et y, on met les deux fonctions doublement périodiques de c.
Ceci posé, montrons que le genre de la courbe f est au plus égal à l'unité. Si la courbe était de genre supérieur à un, on aurait deui intégrales distinctes de première espèce
fQx(x,y)dx fQtix, y)dx
J 7i ' J —fy
La première de ces intégrales peut s'écrire
Qi(x,y) dx d^
J'y dz
En substituant à x et y les expressions | 5), le multiplicateur
de dz, sous le signe d'intégration,
I\ dz '
est une fonction doublement périodique de z. 11 faut cjue cette fonction se réduise à une constante; sinon elle aurait des pôles, et L'intégrale deviendrait infinie. ( )n aura donc
<>, dx
~i dz '"
et, de même,
Q / y \ da
a{ et a2 étant des constantes. Des deux identités précédentes, on
conclut
QiO, y) = «2 Q2O, y) ~~ at
égalité impossible, puisque les deux intégrales de première espèce ont été supposées linéairement indépendantes. Le théorème est donc établi ( ' ).
11. 11 peut arriver que le genre de la courbe soit égal à zéro ou à un. Faisons la remarque importante que, si à un point arbitrai?^ (x, y) de f ne correspond qu'une seule valeur de z dans un parallélogramme de périodes, le genre de la courbe sera certainement égal à l'unité. En effet dans le cas contraire, la courbe serait unicursale, et l'on aurait
R et R, étant rationnelles en 9, et 9 pouvant se mettre sous la forme d'une fonction rationnelle de x et y. On aurait donc
¥(z) étant une fonction doublement périodique de ^. A un point arbitraire (x, y) correspond une seul valeur de 9; les valeurs de z correspondant à un point arbitraire (x, y) seraient donc les racines de l'équation (6). Mais, pour une valeur arbitraire donnée à 9, correspondent au moins deux racines de (6) dans un parallélogramme. JL'hjrpothèse faite que la courbe est unicursale est donc inadmissible.
12. Plaçons-nous dans le cas où à un point arbitraire (x, y) ne correspondrait qu'une seule valeur de £, abstraction faite de sommes des multiples de périodes, et considérons une fonction doublement périodique quelconque W de z, aux mêmes périodes que o et <ï>. A chaque point (x, y) de la surface de Riemann relative à la courbe f ne correspondra qu'une seule valeur de W.
(') J'ai donné pour la première fois la démonstration précédente avec un théorème analogue pour les surfaces algébriques au Tome XCII des Comptes rendus de l'Académie des Sciences (p. i49.5).
Cette fonction sera donc une fonction uniforme sur la surface de Kiemann; elle n'a nécessairement que des pôles; elle est donc une fonction rationnelle de x etjr (p. 455). Toute fonction doublement périodique de z sera donc une fonction rationnelle de ©(*) et <b(z). Ce théorème est dû à Lion ville.
13. Nous avons vu (p. 028) que les courbes de genre un admettent une transformation Irrationnelle en elle-même dépendant d'un paramètre arbitraire. Il e*t facile de retrouver d'une autre manière ce résultat. Considérons les équations
X = <I>(s— h), Y = ?(z-hh),
h étant une constante arbitraire; X et \ sont des fonctions doublement périodiques de z. On aura donc, d'après le paragraphe précédent,
il et l>, étant rationnelles en x et v, et évidemment d'ailleurs, pour la même raison, x et )' sont des fonctions rationnelles de X et \ . Nous voyons donc bien que la courbe /"admettra une transformation birationnelle en elle-même dépendant du paramètre arbitraire h. Il n'est pas inutile' de rappeler ici le résultai obtenu ( [>. 53o) relatif a L'équation différentielle
QOf, Y)dx Q(X,Y)rfX A
Q(#, y) étant le polynôme adjoint Ggurant dans L'intégrale de première espèce relative à/. L'intégrale générale de dette équation, qu'on peut appeler V équation d'/:r//>-r. esl algébrique et est précisément fournie par l<"> équations (7 > avec la constante arbitraire h.
I '' rerminohs par L'examen «lu < ;is particulier <>u l'on aurait
X sa 'Y ytz •!•
*ï>' étant la dérivée de *î>. Ecrivons la relation
Quelle que soit la fonction doublement périodique <ï> (3), on peut affirmer que le genre de f sera égal à l ) unité. Il faut montrer qu'à un point arbitraire (#, y) ne correspondra qu'une valeur de z dans un parallélogramme. Dans le cas contraire, nous pourrions prendre un couple de points z0, zt dans un même parallélogramme correspondant à un même point simple de la courbe. En z0 et £|, la fonction <ï> et sa dérivée <!>' auraient respectivement les mêmes valeurs; d'après l'équation différentielle, il en serait de même de toutes les dérivées de <I>. Donc le développement de <&(z) dans le voisinage de z0 suivant les puissances de z — z0 et le développement de $>(z) dans le voisinage de zK suivant les puissances de z — z{ auraient les mêmes coefficients. Il en résulte que zQ — zt serait une période de <ï>, ce qui est absurde.
Nous reprendrons bientôt l'étude des équations de la forme
qui ont fait l'objet d'un travail mémorable de Briot et Bouquet. Pour le moment, nous nous contenterons d'indiquer la forme de
cette relation, si l'on a
$ (z) étant une fonction doublement périodique ayant deux pôles simples dans un parallélogramme de périodes. Dans ce cas, l'équation sera du second degré en -r— , puisque à une valeur de x correspondent deux valeurs de z dans un parallélogramme. De plus,
les deux valeurs de —- sont égales et de signes contraires. Soit,
en effet, l'équation
a étant une constante arbitraire ; désignons par a et (3 ses deux racines dans un parallélogramme. Les résidus de la fonction doublement périodique
par rapport à a et j3 sont, d'après un théorème général, égaux et de signes contraires. On en conclut que
<I>'(a) et *'(P) sont égaux et de signes contraires. On a donc nécessairement
R(x) étant une fonction rationnelle de x. Cette fonction rationnelle devra être un polynôme, car ~ est nécessairement fini
quand x est fini. Enfin ce polynôme doit être du quatrième degré, car, s'il était d'un autre degré, les pôles ne pourraient pas être du même ordre dans les deux membres.
On a donc finalement une relation de la forme
/ dv\ 2
(—-\ = Ax^-+-Bjc*+Cx'i-hDx-hEJ
les coefficients étant des constantes.
Notre fonction $(z) résulte donc de l'inversion de l'intégrale elliptique de première espèce
dx
sjkx1*-^ Bz3+ Cx*-h Dx -+- E inversion que nous avons étudiée dans un Chapitre antérieur
nrAwn. — 11.
