Au lieu de prendre l'équation

à- u d2 u , du du .

on eût pu prendre l'équation plus générale

d2 w , «J1 u à2 u . du du .

Il est, en effet, facile par un changement de variables de ramener l'un des cas à l'autre.

Faisons le changement de variables

Y = cp(ar,7).

L'équation i a) prendra la forme

d- u >r" u rA du ^ du „

m 5yï !Ddi+îEiï + F"=0'

si les deux fonctions \ et Y satisfont aux équations

\XJ dx dy ' ôy ) " dx) dx \dy )

dX dX , fd\ dX dX d\\ dX dX

fdX àX â\ dX \ \ dy dx dx àj

<\r àx \ <)y dx <>.'• ày } dy dy

On peut remarquer, et cela est intéressant pour la recherche effective de \ et V, que ces équations sont celles que 1 <»u obtient en écrn anl que la forme quadratique

r dx* 2 b dx dj a dj

se réduit, à un facteur près, à

Il résulte de cette remarque, d'après ce que nous avons vu (t. I, p. 55^), que, pour trouver deux fonctions X et Y de x et y satisfaisant aux deux équations trouvées, il suffira d'intégrer une équation différentielle ordinaire du premier ordre.

Ceci posé, nous pouvons étendre à l'équation (a) le théorème

fondamental du paragraphe 19 dans le cas où la transformation

à employer est réelle, c'est-à-dire si le point (oc, y) est dans une

région du plan où

£2— ac < o.

On peut alors énoncer que, dans cette région du plan, il ne peut y avoir plus d'une intégrale prenant une succession donnée de valeurs sur un contour, si ce contour est suffisamment petit.

22. Les méthodes employées dans les précédents paragraphes supposent que les fonctions étudiées soient continues sur le contour ainsi que leurs dérivées du premier ordre. Elles correspondent à la deuxième démonstration donnée (§ 17) de l'impossibilité d'un maximum ou d'un minimum pour les fonctions satisfaisant à l'équation de Laplace. Nous n'avons pas eu besoin de ces hypothèses dans la première démonstration qui reposait essentiellement sur la propriété de la fonction harmonique d'être analytique. Dans le cas de l'équation (a) du paragraphe 21 on peut, en précisant la nature des coefficients, démontrer que les fonctions qui y satisfont sont analytiques, et il est intéressant de rechercher si les résultats obtenus pour l'équation de Laplace, en partant de cette hypothèse, sont susceptibles de généralisation. C'est ce que nous allons montrer.

Nous supposons que dans l'équation (a) du pararagraphe 2l les coefficient a, 6, c, d, e, j soient des fonctions analytiques de x et y dans la région considérée du plan. On suppose de plus expressément

b- — ac<o

dans cette région : a et c, qui sont alors de même signe, peuvent être supposés positifs.

On peut établir que toute intégrale de cette équation bien déterminée et continue dans la région considérée du plan ainsi que ses dérivées partielles des deux premiers ordres est ellemême une fonction analytique (*).

Nous admettrons pour le moment ce résultat, et nous allons seulement en poursuivre quelques conséquences, en raisonnant comme nous l'avons fait au paragraphe 15 pour l'équation de Laplace. Considérons d'abord le cas où /est identiquement nul, c'est-à-dire où l'équation se réduit à

0'2 u , <)- u 02 u .du <>n

(8 ) a — — -+- i b - ; Y- 1C -t— -H 'id- 1-26- = (>.

ôjc* ax a y dy2 ox <)y

Je dis qu'une intégrale u de cette équation ne pourra admettre ni maximum ni minimum.

Soit, en effet, (x0, y0) un point dans le voisinage duquel u cl ses dérivées partielles des deux premiers ordres sont continues; la fonction m, étant anal v tique, peut être développée en série de Ta\ lor

i< = ç(,-h on(x — x0, y— j-o ) -h ?/M-i O — ^0, y — y0) + ■ • • >

les -^ désignànl do polynômes homogènes en x — Xo et y \ „ : cp<, représente une constante, et si (x{), ]-a) correspond à un maximum nu à un minimum, on a n > 2. Substituons celle valeur de u dans l'équatiou (8) et égalons à zéro l'ensemble des termes homogènes de moindre degré. On aura nécessairement

eu désignanl par a0, b$, Cq les valeurs de a, 6, c pour r -. ,r(),

Le polynôme '^„ satisfait à une équation analogue a celle de Laplace; on peut le ramener à cette équation par un changement de variables réel

i Pk \i!D. Sur ht détermination des intégrales de certaines équations aleurs le hum d'un contour fermé [Journal de V Ecole Polyti ""/"' i [cta mathematicas t. \\V).

>o CHAPITRE I.

Il suffira de suivre la méthode du paragraphe 21, et, par conséquent, de chercher la substitution précédente transformant

Cç dx^ — i bQ dx dy -h <v0 d )1 en

Or c'est un problème d'Algèbre élémentaire que de chercher la

substitution linéaire

dX = a dx -+- ,3 dy,

d\ = y dx -h 8 dy,

transformant les deux formes l'une dans l'autre. La substitution sera réelle puisque b'j — a0 c0 <C °i et <?o ^> o.

'fn considérée comme fonction de X et Y satisfait donc à l'équation

OX* dX*

La fonction cp„ pourra donc s'annuler en changeant de signe dans le voisinage de X = o, Y = o et, par suite, dans le voisinage de x = x0, y = yQ. 11 est donc impossible que u ait un maximum ou un minimum pour x = x0, y =^yQ.

On en conclut de suite, en répétant le raisonnement fait pour l'équation de Laplace, quV/ ne peut y avoir deux Intégrales de V équation (8) prenant une succession donnée de valeurs sur un contour G.

On voit que l'équation (8) jouit, au point de vue qui nous occupe, des mêmes propriétés que l'équation de Laplace.