Revenons maintenant à l'équation générale
. . d'îu , (Pu d2u ,du du .
(a) a- \- ib h c -t— - -+- 2 d -, i-ae- h tu = o,
dx* dx dy dy* dx dy J
en supposant toujours que le point (.r, y) reste dans la région R du plan où b- — ac est négatif, et les hypothèses sur les coefficients a, b, c, d, e, f restant les mêmes. Soit A un point quelconque de cette région R. Il existe certainement une intégrale z de cette équation ne s'annulant pas au point A et gardant par conséquent un signe invariable dans un certain domaine D autour de ce point.
FONCTIONS D'UNE VARIABLE COMPLEXE. 3l
Faisons dans l'équation le changement de fonction
// = zv.
L'équation en v sera du même type que l'équation (8), elle n'aura pas de terme en v. Elle sera de la forme
d2v T d-v à"2v „ àv , dv
a z -p- - -\-ioz - — ; — h c z -— - -\- >.d h le — = o .
ax1 axa y dj! ox a y
Puisque z ne s'annule pas, par hypothèse, dans D, nous pouvons appliquer les résultats du paragraphe précédent. Il ne pourra y avoir deux intégrales de cette équation prenant la même succession de valeurs sur un contour C contenu dans D.
Nous pouvons par suite énoncer pour l'équation (a) le théorème Mii van I :
I (/four d'un point quelconque de la région R, on peut délimiter un domaine D, dans lequel le problème de la détermination d'une intégrale par ses valeurs sur un contour quelconque contenu dans D ne pourra (noir plus d1 une solution.
C'est le théorème que nous avons obtenu aux paragraphes I9et21.
< )n \oit que nous n'avons pas eu besoin ici, dans les raisonnements employés, ae faire intervenir les valeurs des dérivées partielles <!n premier ordre sur le contour. Le résultat est en ce sens plus précis, mais nous avons par contre l'inconvénient de démontrer seulement l'existence de ce domaine suffisamment petit D, sans indiquer aucune possibilité de trouver effectivement un tel dnmaine, ce que notre première méthode (§ 19) nous avait au contraire permis de faire. Il resterait à rechercher si, pour les do maines trouvés dans la première méthode, on ne pourrail arriver débarrasser de l'hypothèse supplémentaire relative aux déri
du premier ordre. Cette discussion trouvera sa place dans
une aul r<- partie de eei ( )u\ rage.
24, leriniiiMUs ces généralités en considérant encore l'équation . <r,, du du
" . ■ '' . : ' , , ><l - -+- 2 6 - H- fit o.
OXO) d.r ôy
et supposant que, dans la région R où
b- — ac < o, a > o,
on ait de plus y << o.
Nous allons montrer que dans ces nouvelles conditions il ne pourra y avoir plus d'une intégrale de r équation prenant sur tout contour fermé contenu dans R une succession continue donnée de valeurs.
Si deux intégrales prennent les mêmes valeurs le long d'un contour, on aura une intégrale qui s'annulera le long de ce contour. Considérons donc une telle intégrale u de l'équation précédente; elle gardera un signe invariable dans le contour; ou bien elle s'annulera le long de certaines lignes; dans le second cas, l'aire se trouvera partagée en plusieurs aires partielles, sur le périmètre desquelles l'intégrale s'annulera, en gardant à l'intérieur un signe invariable. '
Prenons l'une d'elles, et supposons u positif à l'intérieur. Pour un point au moins (x0j yQ) à l'intérieur, u devra passer par un maximum; soit u0 > o la valeur de u pour (#0, y0).
Développons u en série
u = u0 -h un ( x — a?0j y — J-'o )-+-•-.,
/*, qui est plus grand que un, doit être nécessairement égal à deux] car, dans le cas contraire, l'ensemble des termes constants dans l'équation se réduirait à f0 u0, en désignant par /*0 la valeur de f pour (a?0, yQ); on devrait donc avoir uQ = o, ce qui est impossible si la fonction n'est pas restée constamment nulle à l'intérieur de Faire. Nous avons donc n = 2 ; soit
Puisque (,r0, y0) correspond à un maximum,
D'autre part, en substituant dans l'équation différentielle la valeur de w, on trouve de suite
(9) 2(«o* -+" 2&o|î-+- CoY) H" /<>"o = <>,
en désignant par #0, 60, c„ les valeurs de a, 6, c pour (.r0, /Ko)-
On a d'ailleurs
«o>o, c0>o, bl — a0c0<o.
Or de l'inégalité évidente
nous concluons successivement, en nous reportant aux inégalités
écrites plus haut,
(a0x -f-c0y)2> 4«oCoP2,
(a0a-r-CoY)2>4^P2.
La valeur absolue de a0a + cfly est donc supérieure à celle de 2 b0 ,3. Or ct0 y.-\-c0 y est négatif; donc
est certainement négatif. D'ailleurs f0 u0 est aussi négatif, puisque Mo ^> °>/o <C °- Nous sommes ainsi conduits à une contradiction, car la relation (9) devient, dans ces conditions, manifestement impossible. L'hypothèse faite est donc inadmissible : une intégrale nulle sur le contour sera nécessairement nulle à l'intérieur, ce qui dé montre le théorème.
Comme exemple, citons l'équation
(Pu à*u
Il ne pourra y avoir plus d'une intégrale de cette équation prenant sur un contour quelconque une succession donnée de valeurs.
25. Nous avons, dans les paragraphes précédents, déduit nos conclusions de ce que les intégrales étaient nécessairement <!<> fonctions analytiques. Dans sa Thèse ('), M. Paraf a montré qu'on pouvait arriver bien simplement aux mêmes conclusions, sans a appuyer sur aucun résultat antérieur, ce qui dispense même <!<• L'hypothèse que les coefficients soient des fonctions analytiques. Partons de l'équation
t)7 11 f)"2 11 au , 1)11
ts -+- rr -+■ a h à -z — \- eu = o.
ily1 <>./■ i)\
\ Parât, Innales de la Faculté de* Science* de Toulouse^ t. VI,
no. — 11. :\
On suppose que, dans une aire A limitée par un contour C, le coefficient c soit constamment négatif (et non nul). Nous voulons montrer qu'il ne pourra y avoir deux intégrales de l'équation, bien déterminées et continues ainsi que leurs dérivées partielles des deux premiers ordres, prenant sur C les mêmes valeurs. Considérons, en effet, la différence u de deux telles intégrales, qui s'annule sur C. Nous allons voir qu'elle ne peut prendre aucune valeur positive dans A. Si, en effet,, elle devient positive, elle aurait une limite supérieure qu'elle atteindrait au moins pour un point (x0, Vo) de l'intérieur de Faire. Donnons alors à y la valeur fixe y0 et considérons la fonction u (a?, y0). Il est clair que
( — ) est nul; d'autre part la formule de Taylor, arrêtée au se-
cond terme,
montre que ( — 2 ) doit être négatif ou nul, car, dans le cas contraire, le second terme du second membre serait positif pour x voisin de x0, ce qui conduirait à u (#, y0) ^> u (#0, T'o)- Ainsi donc, pour
on aura
et pareillement tandis que
y=yo,
àx
en u .
àx^=°
du
ây
u > o et c < o.
Ces égalités et inégalités sont incompatibles avec l'équation différentielle. Il est donc établi qu'aucune intégrale ne peut avoir dans A un maximum positif; elle ne peut non plus avoir un minimum négatif, comme on le voit en changeant «en — u. 11 en résulte que, si la fonction u est nulle sur le contour, elle sera nulle à V intérieur.
26. La démonstration précédente suppose que c ne s'annule pas dans la région considérée. Le théorème est cependant exact
sous la seule condition que c ne soit pas négatif. Nous allons ramener, en eflet, ce cas au précédent. Faisons le changement de fonction
U = Zi ',
z étant une fonction, pour le moment indéterminée, de x 'et y. L'équation en \> a la même forme que l'équation en m, et le coefficient de v est
F(*) z en posant
. à** d*z dz . dz
Si donc, dans la région considérée, on peut trouver une fonction z de x et y vérifiant les deux inégalités
z > o, F(s)<o (les égalités étant exclues),
on se trouvera, pour l'équation en p, dans le cas précédent, et le théorème sera établi.
Nous allons pouvoir déterminer une fonction ; de x seul remplissant les conditions voulues. On devra avoir
Comme c est négatif ou nul, il suffit de satisfaire aux deux
inégalités
iP z dz
3>°' ÔF>+nte<0-
Soit — = U, nous voulons avoir
hfll<o.
qui revienl i\
d± -h MU -+- (a — M iU<o,
M étant une constante supérieure à la valeur absolue maxima <!<■ <i dans l'aire donnée.
< h -i l'on prend
cette inégalité sera certainement vérifiée; on en tire
z = l-(e-yix°—e-™x).
En supposant que l'ordonnée x = x0 soit à gauche de Taire, toutes les conditions demandées sont vérifiées, et le théorème est par suite établi.
IV. — Problème de Dirichlet. Recherche de la fonction harmonique prenant des valeurs données sur un contour. Méthode de M. Neumann.
27. Nous avons maintenant à chercher si, étant donnée une succession continue de valeurs sur un contour, il existe une fonction harmonique continue à l'intérieur de l'aire limitée par le contour et prenant sur celui-ci les valeurs données.
Dans sa célèbre dissertation inaugurale, Riemann a donné de ce problème, qu'il appelle le principe de Dirichlet, une démonstration extrêmement simple. Quoique cette démonstration ne présente pas une rigueur suffisante, nous devons l'exposer; elle rend en effet tout au moins très vraisemblable le théorème en question et elle est le type d'un genre de raisonnement fréquemment employé en Physique mathématique, et dont, faute de mieux, on doit souvent se contenter.
