Commençons par démontrer le théorème suivant
Considérons une fonction harmonique u continue ainsi que ses dérivées partielles des deux premiers ordres dans Vaire limitée par un contour C, et supposons que sur le contour luimême u et ses dérivées partielles du premier ordre soient continues.
On forme l'intégrale
v représentant une fonction quelconque satisfaisant aux mêmes conditions de continuité que u et prenant sur le contour les
mêmes valeurs. Dans ces conditions, V intégrale précédente sera minima pour v = u.
Soit, en effet, v — u = h\ la fonction h sera nulle sur le contour et l'on aura
> - u m- ($)•] **.*'/ sa % - % »*♦
Or la seconde intégrale est nulle d'après la formule préliminaire de Green qui peut s'écrire
/ / ( -: : h \ — ) dx dy = — ! h — ds — / l h\u dx dy.
J J \dx ox dy dy] J J{: dn J J J
L'intégrale I est donc moindre pour v = u que pour toute autre fonction r prenant les mêmes valeurs sur le contour.
A ce théorème, nous pouvons joindre une réciproque. Les conditions de continuité restant toujours les mêmes pour les fonctions considérées et celles-ci prenant de plus, toutes, les mêmes valeurs sur le contour, si l'intégrale I est minima quand on met à la place de v une certaine fonction w, celle-ci satisfait à l équation
ku = o.
Posons
a désignant une constante et h une fonction de x et y s'annulanl sur C. Pour cette fonction, on aura
-iim-m'^-iim^u)*-»
( >r. le coefficient de x peut s'écrire
— x \ j h lit dx dy.
Ni i i coefficient n'est pas nul, La somme des deui derniers
termes dans L'expression de I sera certainement négative si 1 <>n
"I x suffisamment petit <-i d'un signe convenable. Puisque,
par hypothèse, l'intégrale I est minima pour ç = m, il faut nécessairement que
(10) / / h Aw dx dy = o.
Or la fonction h n'est assujettie qu'à la condition de s'annuler sur C et d'être continue ainsi que ses dérivées partielles des deux premiers ordres. Supposons qu'en un point (x0, y0) à l'intérieur de l'aire, Aw ne soit pas nul : il sera d'un signe invariable dans le voisinage, soit à l'intérieur d'un cercle T de rayon p ayant (-^ojJKo) pour centre. Définissons alors h par la condition qu'elle soit nulle entre G et T, et que, à l'intérieur de T ,
h= [pî—(x — x0)*—(y—y0y]»K
Si l'entier m est supérieur à deux, la fonction ainsi définie s'annulera sur G et sera continue ainsi que ses dérivées partielles des deux premiers ordres. Mais, pour une telle fonction, l'intégrale ( 10) ne pourra évidemment pas être nulle. Il en résulte qu'en
tous les points de l'aire
Aît = o,
comme nous voulions l'établir.
29. Les deux théorèmes précédents sont à l'abri de toute objection. Il n'en est pas de même de la fin du raisonnement par lequel Riemann établit l'existence d'une fonction harmonique u prenant des valeurs données sur un contour.
Considérons toujours l'intégrale
um-m^
v désignant une fonction quelconque assujettie seulement, sauf les conditions indiquées de continuité, à prendre la succession de valeurs données sur le contour. Cette intégrale est nécessairement positive; il y a donc une limite inférieure au-dessous de laquelle elle ne peut descendre. Désignons par u la fonction pour laquelle V intégrale atteindra son minimum ; la fonction u, d'après le théorème précédent, sera harmonique et le problème de Dirichlet se trouve ainsi résolu.
J'ai souligné le point défectueux dans la déduction précédente.
FONCTIONS D'UNE VARIABLE COMPLEXE. 3g
On ne peut être certain a priori qu'il existe une fonction w, satisfaisant aux conditions de continuité, pour laquelle l'intégrale atteigne effectivement sa limite inférieure. C'est là une objection capitale et M. Weierstrass (* ) a montré sur un exemple très simple le danger de ce mode de raisonnement. Prenons, avec l'illustre géomètre, l'intégrale
et envisageons les fonctions y de x continues ainsi que leurs dérivées premières de — i à -f- 1 et prenant pour x === — i et x = -f- 1 respectivement les valeurs a et b (en supposant essentiellement a différent de b). Nous allons voir que, parmi ces fonctions, il en est qui rendent l'intégrale J aussi voisine de zéro que l'on voudra; la limite inférieure de V intégrale est donc zéro pour les fonctions y considérées. D'autre part, il n'existe évidemment pas de fonction répondant aux conditions indiquées, et rendant l'intégrale nulle. Il faudrait, en effet, que cette fonction fût constante, ce qui est impossible puisque a est différent de b.
En désignant par £ une constante positive, Weierstrass envisage la fonction
. . arc tan g —
arc tang -
Varctang qui figure dans cette expression étant compris entre — -
et -f- -; cette fonction satisfait aux conditions indiquées plus haut.
\ oj "us ce que devient J, quand on met à la place de y la fonction précédente. On trouve de suite
kj ^i+p^f^y,
V dx J
(b — ay r + 1 dx g (b — a)*
I i V J , a^-HÇ1 = 2 " i
I 2 arc tang - 1 1 ire tan
(l) Wl il iisthass. l'ebrr das êOgentlCUUe Du i< hlct'arhe Pri/icif ( Wnthcnia Werke, i. Il p
Donc J sera aussi petit que l'on voudra, si £ est pris lui-même assez petit; la limite inférieure de l'intégrale est donc bien nulle. D'autre part, comme nous l'avons dit, il ne peut exister de fonction continue donnant à l'intégrale sa valeur minima. On voit donc combien il faut se méfier d'un mode de raisonnement dans lequel on admet a priori l'existence d'une fonction continue donnant à l'intégrale sa valeur minima.
On se demandera tout naturellement ce que devient la fonction^ quand !• tend vers zéro. On voit que l'on a la limite
y = a pour x > o, y = b pour x <C o.
Pour x = o, la limite est C'est cette fonction discon-
tinue qui donne à l'intégrale la valeur minima zéro.
11 n'est pas inutile d'indiquer l'origine de l'expression (E) qui a joué un rôle essentiel dans les raisonnements précédents. Envisageons l'intégrale
\ étant une constante positive. Le problème de trouver la fonction continue^ de #, prenant pour x = — i et x = -f- i respectivement les valeurs a et b, et rendant l'intégrale minimum, admet une solution parfaitement déterminée, et c'est précisément la fonction (E).
Pour la trouver, il suffit d'employer une méthode toute semblable à celle du paragraphe 28. On remplace y par y-\-hv., en désignant par a une constante et h une fonction qui s'annule pour x — rb i . Le coefficient de a est ici
dy dh dx dx
et, en intégrant par parties et se rappelant que h s'annule aux limites, on peut le remplacer par
-jC>â[^**>£]*-
FONCTIONS D'UNE VARIABLE COMPLEXE. 4î
Si la fonction y rend l'intégrale T minimum, le coefficient de h devra être identiquement nul. On aura donc
En intégrant cette équation avec les conditions aux limites, on
trouve
\ , , arc tano ;-=■ a-\-b b — a ° £ y= ! 1,
arc tangc'est l'expression (E).
30. Le problème proposé, que nous avons déjà donné dans le cas du cercle (p. 16), a été traité rigoureusement par M. C. Neumann dans le cas d'un contour convexe. M. Schwarz a montré ensuite comment on pouvait, dans des cas étendus, passer d'un contour convexe à un contour plus compliqué, ce qui lui a permis de traiter la question dans le cas d'un contour limité par des arcs réguliers de courbes analytiques. Enfin M. Poincaré a donné du problème de Dirichlet une solution extrêmement originale et qui difFère complètement par le point de départ des méthodes précédentes. Nous nous bornerons dans ce Chapitre à développer la méthode de M. Neumann, qui nous servira en même temps à établir quelques propriétés importantes de la fonction harmonique. Les méthodes de MM. Schwarz et Poincaré seront développées dans d'autres Chapitres.
Nous avons déjà donné, dans le cas de l'espace, la méthode de M. Neumann, modifiée en mettant à profit une idée de KirchhofF: nous suivrons absolument la même voie dans le cas du plan.
Nous avons supposé que la surface considérée était convexe et avait en chaque point un plan tangent déterminé. Nous garderons pour le contour plan, que nous avons maintenant à considérer, les mêmes hypothèses, sauf toutefois que Le contour, toujours convexe, pourra avoir un nombre limité <l<' pointes. En ces derniers points, [e contour aura deux tangentes.
31. Une intégrale analogue à celle de Gauss (t. [, p. [46) nous
sera fournie par l'intégrale
Tcoscp
(«I) Jrd°
étendue à une courbe fermée C, /* désignant la distance d'un point fixe A à un point M de l'élément, d'arc variable d<7 de la courbe, et l'angle es représentant l'angle de la direction MA avec la normale intérieure à la courbe au point M.
La signification géométrique de cette intégrale est immédiate; elle représente la somme des angles, pris avec un signe, sous lesquels du point A on voit les éléments d<j de la courbe. L'intégrale (ii) sera donc égale à 21 quand le point A sera à l'intérieur de la courbe G, elle sera nulle quand le point sera extérieur à la courbe, et elle sera égale à iz quand le point sera en un point ordinaire de la courbe. Si enfin le point A est une pointe de contour, l'intégrale sera égale à l'angle a que font les tangentes aux deux courbes qui forment la pointe. Dans l'hypothèse où nous sommes d'un contour convexe, a sera inférieur à tc.
Nous pouvons généraliser l'intégrale précédente, comme nous l'avons fait (t. I, p. 2o3). Désignant par a, b les coordonnées de A, nous formons l'intégrale
*sr. '
où ul désigne une fonction continue du paramètre qui fixe la position d'un point sur la courbe. Cette intégrale, considérée comme fonction de (a, &), est une fonction continue, ainsi que ses dérivées partielles quand le point A est à l'intérieur ou à l'extérieur de la surface. De plus, elle satisfait à l'équation de Laplace; c'est ce qu'on voit de suite en mettant l'intégrale sous la forme
car
dr
dn
r dlogr
= — cos'-p (t. I, p. 170).
Or pour un point (x, y) du contour C, log /• considéré comme fonction de (a, b) satisfait à l'équation de Laplace, et il en est
FONCTIONS D'UNE VARIABLE COMPLEXE. ft
par suite de même de
d logr dn
ce qui entraîne la même conclusion pour l'intégrale.
La fonction "V (a, b) éprouve une discontinuité pour le passage par la courbe G. Pour étudier cette discontinuité, il n'y a qu'à suivre, sans y rien changer, le mode de raisonnement employé pour l'espace (t. I, p. 204). La seule différence sera que it sera
partout remplacé par — dans les formules, puisque la circonférence
de rayon un est égale à 2-, tandis que l'aire de la sphère de rayon un est égale à 4 ~- Prenant un point fixe s sur la courbe G, et désignant par jjljt la valeur de jjl en ce point, on montrera que
W(aré)= f
Je
r (\x — fV> cosep
da
est une fonction continue de (<2, b), au point s, c'est-à-dire qu'elle tend vers la même valeur, de quelque manière que le point (a, b) tende vers s. En conservant les mêmes notations, on aura donc
\ fs = V g -h TCfX*, VeJ = V s — WJV.
Ces loi mules supposent que le point s ne soit pas une pointe sur le contour. S'il en était ainsi, a désignant l'angle des tangentes, • m aurait, en écrivant toujours que W(a, b) est continue au point s,
\ es = V/j — 1 -a,- = V, — otfcl,.
'.VI. On établira encore une remarque analogue à celle du paragraphe io (t. I, p. 226). On partage la courbe C en deux parties oc el fi, et soient s et *' deux points quelconques «le b courbe. Désignons d'une manière générale par IJ l'intégrale
'-jf2?*
relative au point s e! étendue à une portion y de la courbe. On peol trouver un nombre / compris entre zéro et un. tel que
l'on ait
o<X< JL(I«-hlf,)<i
quelles que soient les positions de s et s' sur la courbe.
Je ferai seulement une remarque sur la démonstration, remarque que nous n'avions pas eu l'occasion de faire pour les surfaces convexes, leur supposant toujours en chaque point un plan tangent unique. Il est un cas où la somme
If 4- If,
peut atteindre zéro. Il faut pour cela que chacun des deux termes s'annule; la partie a devra donc se composer de deux droites dont s est le point de rencontre, et il en est de même de jâ, qui se composera de deux droites se rencontrant en s'. La courbe convexe, que nous considérons, se réduira alors nécessairement à un triangle ou à un quadrilatère. Ce sont les seuls cas où n'existe pas ce nombre X, différent de zéro. Ces deux courbes sont donc exclues pour l'application de la méthode.
