On établira enfin une dernière propriété de l'intégrale
v ± r^çoscp^
prise pour un point s de la courbe G. Il n'y a, je le répète, qu'à
changer 71 en - dans tous les raisonnements et calculs (t. I, p. 227).
En désignant par Met m le maximum et le minimum de [jl sur la courbe, on a, pour deux points quelconques s et s{ de C,
où le nombre p (qui est égal à 1 — X) est une constante positive comprise entre zéro et un.
En particulier, si M4 et m{ désignent le maximum et le minimum de V^ sur G, on a
Mi — m! g (M — m) p.
34. Il suffira maintenant d'indiquer l'énoncé de la solution du
principe de Dirichlet; on se reportera pour la démonstration au Tome I, page 229.
Soit une fonction continue U définie sur la courbe C; en désignant toujours par Uy la valeur d'une fonction U au point s, je forme l'intégrale
Ui(a,6)^--L r^£i(U-U,)^,
Quand le point (a, b) est en s, elle a une valeur parfaitement déterminée Uj. L'ensemble de ces valeurs, quand le point s se déplace sur la courbe G, définit une fonction U1 sur cette courbe. Formons de même l'intégrale
(«,*)=- ^/^(U'-UJ)*,
qui permettra de définir une nouvelle fonction U- sur G; et ainsi de suite, en ayant d'une manière générale
U«(a, *) = r^!(ï>-i— \J'rx)ch.
La série
est convergente sur la courbe G, et l'intégrale
résout le problème de Dirichlet, c'est-à-dire qu'elle satisfait à U équation de Laplace, et que V(«, b) tend vers Uv, quand le point (a, &) intérieur à G tend vers le point s de cette courbe.
35. Dans ce qui précède, nous avons suppose que la succession des valeurs données sur le contour était une fonction continue. Il es! intéressant, pour diverses applications, d'examiner le cas ou la lon< lion (J, donnée sur le contour, tout en étant en général continue, aurait un certain uombre de points de discontinuité où elle passerail brusquement d'une valeur finie à une autre valeur finie. Supposons, par exemple, qu'il y ail sur le contour deux
tels points \ et B (fig. 2 |, et soient, quand on parcourt le COntOUF
dans Le sens positif, a et 6 les valeurs correspondant* sdes discon-
tinuités, de telle sorte que si UA£ désigne la valeur de UM quand le point variable M tend vers A en marchant dans le sens de la
Fig.
(cy
ce
flèche, et si UA+S désigne la valeur limite de UM quand M tend vers A dans le sens inverse, on ait
et, de même,
