UB

Ua+s = a

Pour résoudre, dans ce cas, le problème de Dirichlet, on pourrait suivre la méthode précédente en commençant par discuter l'intégrale généralisée de Gauss, quand la fonction jji éprouve des discontinuités de la nature indiquée. M. Schwarz a montré que le cas où la fonction U est discontinue peut se ramener immédiatement au cas où la succession des valeurs données sur le contour est continue ('). Concevons, en effet, la fonction U prenant sur le contour la succession, discontinue en A etB, de valeurs données ; si l'on désigne par (a, a') et (p, (3') les coordonnées de A et B, la fonction

- arc tang

arc tang

X — jl

est parfaitement déterminée dans l'aire limitée par C, quand on a une fois choisi, en un point, la détermination que l'on veut adopter pour les arc tang ; de plus cette fonction est une fonction harmonique. Enfin, quand le point (x, y) tend vers A en suivant le contour, d'abord dans le sens positif, puis ensuite dans le sens négatif, la différence des deux valeurs limites est manifestement

(') M. Jules Riemann a tiré très heureusement parti de la même idée dans le cas des aires limitées par plusieurs contours. Voir sa Thèse sur le problème de Dirichlet (Annales de l'École Normale, 1888).

égale à a, si, comme nous le supposons, A n'est pas une pointe. La différence analogue pour B est égale à b. Or formons maintenant l'expression

tt T « y — a' à y — B' V = U arc tans arc tang l- •

La différence des deux valeurs limites que prend cette fonction quand (x, y), sur le contour C, se rapproche de A d'un côté ou de l'autre, sera égale à zéro, et il en sera de même pour B. Admettons que cette expression qui, à proprement parler, n'a pas de valeur en A, ait pour valeur la limite précédente relative à ce point, et de même pour B; nous pourrons dire alors que la fonction V prend une suite continue de valeurs sur le contour C et nous pourrons l'obtenir comme il a été vu plus haut. On en déduira la valeur de U par la formule

rr x- a y — a' b y — v

U = \ h arc tan" - 1 arc tanç r—»

3G. Les considérations précédentes nous permettent de déterminer une fonction harmonique U qui, en dehors des points A et B, prend sur le contour une, succession continue de valeurs données. Il n'est pas certain, d'après ce qui a été vu jusqu'ici, que cette fonction soit unique. Le résultat est cependant exact s* l'on ajoute l'hypothèse que la fonction reste, en valeur absolue, inférieure à un nombre fixe dans le voisinage des points de discontinuité .

Il faut, pour établir ce théorème, montrer qu'une fonction harmonique (J prenant sur C la valeur zéro, sauf en certains points A cl I) dans le voisinage desquels on suppose qu'elle reste finie, est nécessairement nulle identiquement.

Vui^ démontrerons ce résultai en supposant que le contour C se réduise à un cercle. Ce ne sera pas restreindre la généralité du théorème si l'on admet, comme il sera démontré plus tard, qu'on peut faire La représentation conforme de l'aire considérée sur un cen le (Chap. \).

Nous considérons donc une circonférence C du rayon 1» et de

itre 0 et deux points A el B but cette courbe. Nous donnant

dabord an nombre t\ fixe, mais aussi petit qu'on voudra, nous

traçons deui angles x et (3 d'ouverture 2Tj et de sommel ( >. ayant

respectivement OA etOB pour bissectrices. On peut, d'autre part trouver un cercle J\t (Rt <^ R) tel que, sur la portion de cette circonférence extérieure aux angles a et [3, les valeurs absolues de U soient moindres que e, en désignant par e une seconde quantité donnée à l'avance aussi petite qu'on voudra. Sur les arcs de la circonférence R4 correspondant aux angles a et (3, on aura, d'après

l'hypothèse faite,

M étant une constante fixe.

Nous pouvons déterminer la fonction harmonique U en nous servant de la formule de Poisson relativement à la circonférence R« . On voit alors que, pour un point quelconque P, intérieur à cette

circonférence, on a

| UP | < Xe -+- fXTj,

X et fi. étant deux quantités finies indépendantes de £ et t\ ; c'est ce qui résulte de suite de la décomposition de l'intégrale en deux parties. Or e et yj sont deux constantes aussi petites que l'on veut. Il est donc bien établi que la fonction harmonique U est rigoureusement nulle.

Il est facile de donner un exemple d'une fonction harmonique s'annulant en tous les points 'd'une circonférence, sauf un seul, coutinue d'ailleurs à l'intérieur et n'est pas identiquement nulle. Il suffit de prendre

a étant une constante. Cette fonction s'annule sur la circonférence représentée par l'équation

sauf à l'origine ; son module ne restant pas au-dessous d'une limite fixe M, le théorème précédent n'est pas applicable.

37. Il est intéressant de rechercher quelle est la limite des valeurs que prend U (oc, y) quand le point (x^y) tend vers un point A du contour où la succession des valeurs données est discontinue. On y parvient de suite, en se reportant à la formule

U = V + > - arc tansr J

V a, en chaque point de discontinuité, une valeur déterminée. Supposons, en premier lieu, que le point (x,y) se rapproche du point A, en restant sur le contour C et en marchant d'abord dans le sens positif et ensuite dans le sens négatif. En écrivant U sous la forme

U = Wh arc tan s