I. — Développements en séries et extension des fonctions

harmoniques.

1. Nous avons déjà indiqué (Chap. I, § 14) un développement en série d'une fonction harmonique. Il nous faut reprendre avec plus de détail l'étude des développements de cette forme. En partant de l'intégrale

VaLj- r /w(R2-;,2) &

où r et cp désignent les coordonnées polaires du point A dont x et y désigneront les coordonnées rectangulaires, nous avons obtenu le développement

V(x,/) = Y + ^ ( R ) (a"icosmo -h bmsinmo),

m = 1 OÙ

am= - / /(«JOcosm^aty, b,n—- ! /(<],) sin m ùdty.

Ce développement converge pour tous les points intérieurs au cercle de rayon R. On a vu aussi que le terme de rang m dans la série était un polynôme homogène et de degré m en x et y,.

2. Ceci rappelé, proposons-nous une question inverse en consi-

DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES. 5l

dérant a priori une série de la forme

m =r oo

(i) A0-H 2, r"l(^m cosmcp -+- Bm sinmç),

les A et B désignant des constantes. J'envisage les deux séries

^A,„/"« et 2IÎ'»/""-

Ce sont deux séries ordonnées suivant les puissances croissantes de ;*. Elles ont donc chacune un certain champ de convergence (t. 1, p. 255) ; prenons le plus petit de ces deux champs de convergence, soit l'intervalle ( — L, +L). La série (i) sera uniformément convergente quand le point (.r, r), (x = rcos©, y = rsin'^) sera à l'intérieur du cercle de rayon L — e, « étant une quantité fixe aussi petite qu'on voudra ; les deux séries

et

sont, en effet, convergentes pour /• <^ L.

Nous appellerons cercle de convergence delà série ( i ) le cercle de rayon L(*). Cherchons quelques propriétés de la fonction de r et de cp, ou de x et dey, ainsi définie dans ce cercle. Soil

rm cosmcp = um\ .i -. y\ rm sinmep == cm(#, y) :

i(m pl Vmi nous lavons déjà dit, sont des polynômes homogènes et

• If degré /// en x et r. el l'on a

"m + ivm — {x ■+- if)"1.

Nous avons «loue la fonction \ (x,y) définie, dans le cercle de il L, par le développemenl

Ht = 00

f'i II n'esl pas possible que la série converge <-n dehors de ce cercle, mai n noua occupons de la série qu'à l'intérieur <!<• i c qne nous appelons l<

Montrons d'abord que la fonction V(x,y) aura des dérivées partielles de tout ordre et qu'on pourra les obtenir en faisant la somme des dérivées correspondantes des termes de la série. Il suffira de démontrer le même théorème pour la série (1) considérée comme fonction de r et de cp ; soit donc

(r, cp) = A0-H ^ rm(km cos/>*cp-+- B/nsinm?).

Nous allons supposer r=L', L' étant une quantité plus petite que L mais qui en est aussi voisine qu'on voudra. Les deux séries

2|A,„|L'- et ^\Bm\U>»

sont convergentes ainsi que les séries

2ha,„1l>, 2mlB»JL'w-

On aura d'abord évidemment, d'après les propriétés des séries entières,

àU

-r- = > mr",-1(A,„cos7?itp+ B,„ sinmcp).

Prenons maintenant la série des dérivées par rapport à cp 2^ mrm( — Am sinmç -+- Bm cosmcp).

Cette série sera convergente, et de plus, si on la considère comme fonction de co, elle sera uniformément convergente, cp variant de o à 271. Donc, d'après un théorème fondamental (t. 1,

p. 236), elle représentera -—• Le théorème démontré pour les

dérivées du premier ordre, qui sont des séries de même forme que la proposée, s'étend aux dérivées de tout ordre.

Ainsi la série (i), considérée comme fonction de r et de ce, a des dérivées partielles du premier ordre qui s'obtiennent en formant la série des dérivées des termes successifs. Par suite, on aura le même théorème pour la fonction V considérée comme fonction

DÉVELOPPEMENTS EN SÉllIES. 53

de x et r. Remarquons de plus que V a des dérivées partielles de tout ordre qui se trouvent représentées par des séries de même forme. Ainsi

mais

donc

ou

u,n-^ivm=(x+- iy)m, um-l-+-iv,n-\ = (# ■+ iy)m~l\

dx ox

àum ÔV

Par conséquent.

— =mum-u —=mvm-x

dx —

Nous avons donc une série de même forme. Prenons maintenant les dérivées secondes

et puisque 011 aura

Awm = o, Acm = o, AV = o.

A/71 — — — Bm -

Ainsi la fonction Y (x, y) représentée par la série est, comme chacun de ses termes., une fonction harmonique et continue à Vintérieur <lu cercle de rayon L.

Cette, proposition est, en quelque sorte, l'inverse de celle que nous rappelions au paragraphe précédent. Il est clair que, si dans expressions précédentes nous remplaçons x par x — xQv\ j pin v - )„, nous aurons des fonctions définies dans des cercles ,i\ ant pour <«'ntre (.r„, )'«.).

\\. Reprenons une fonction harmonique V (#, y), continue à l'intérieur d'un cercle C de rayon R ayant l'origine (>our centre. On

suppose qu'on ne sache rien de la nature de la fonction sur la circonférence elle-même. Pour effectuer le développement en série de la fonction, on doit prendre une circonférence de rayon IV, moindre que R, et le développement déjà rappelé au paragraphe 1 de ce Chapitre nous donne à l'intérieur du cercle de rayon R'

(2) VO, y) = A0-H \ rm(Am cosmcp -+- Bw sinra? ).

On peut se demander si ce développement est indépendant de R .. Tl est aisé de voir que Aw et Bm ne dépendent pas de R' ; soit, en effet, pour R" < R' un autre développement de Y (oc, y) ; en faisant la différence de ces deux séries, on aurait une identité de la forme

m=oo

/ 1 rm(ccm cosmcp -+- $nl sinmo) (/' < R").

La série ordonnée suivant les puissances croissantes de r, qui figure dans le second membre, ne peut être identiquement nulle

que si

a.m cosmcp -f- (3m sinmc? =: o,

quel que soit cp, c'est-à-dire que v.m = fim = o, et les coefficients des deux développements supposés sont identiques. La série (2) définit donc la fonction pour tous les points intérieurs au cercle C de rayon R.

Ceci posé, prenons à l'intérieur de ce cercle un point arbitraire (xQ,y0) autre que l'origine. Du point (oc0^y0) comme centre, décrivons le cercle (v) tangent intérieurement au cercle C ; la fonction Y(x,y) à l'intérieur de ce cercle pourra être développée en une série de la forme

les P et Q étant des constantes.

Une remarque capitale est à faire sur cette dernière série. Son cercle de convergence a un rayon au moins égal à celui du cercle

DEVELOPPEMENTS EN SEUIES.

(v), mais il ne lui est pas nécessairement égal. Soit Y(fig. 3) ce cercle de convergence ; supposons son rayon plus grand que celui de (y). On voit que la fonction V(#, j') se trouve maintenant définie dans une région où elle n'était pas déterminée par le pre-

mier développement en série, à savoir la partie ombrée dans la figure intérieure à F et extérieure à C. Ce fait est extrêmement important; on dit alors que Von a effectué le prolongement analytique de la fonction V au delà de V arc aj3 de la circonférence (] (a et [j désignant les points de rencontre des circonférences C et T).

On pourrait, de la même manière, chercher à effectuer le prolongement analytique de la fonction au delà d'un arc de la circonférence I\ et ainsi de suite, de proche en proche.

Les eireonstances les plus variées peuvent se produire dans la recherche de ce prolongement analytique. On pourrait tout d'abord être arrêté dès le début, c'est-à-dire qu'il pourrait arriver que, quel qui- soit (xoiyo), le cercleT fût le cercle y; alors le prolongement analytique de la fonction au delà du cercle G est impossible. Dans (I autres cas, en prenant pour les circonférences F une succession de centres situés sur un arc de courbe joignant le |)'»mi () à un point A du plan, on pourra atteindre le point A ; il pourra arriver aussi qu'on n'atteigne pas ce point. Enfin, en allant du point O à ce même point A par deux chemins différents, on pourra ue pas trouver la même valeur a l'arrivée : la fonction prolongée présentera alors quelque singularité dans l'aire limitée par les deux chemins.

i. Il est facile de citer des exemplee d'une fonction ne pouvant

être prolongée au delà d'un cercle G. Reprenons, en effet, l'intégrale de Poisson

qui définit une fonction harmonique Y(x,y) prenant sur le cercle G de rayon R, ayant l'origine pour centre, la succession des valeurs données par la fonction f('\>)- Si la fonction peut être prolongée au delà d'un certain arc a[3 de la circonférence C, il faudra nécessairement que/(<|;) soit une fonction analytique de ty sur cet arc ; en effet, V(#,y) sera alors une fonction analytique de x et y dans une certaine aire comprenant l'arc aj3 à son intérieur, et comme x et y, qui sont égaux à R cos cp et R sin cp sur le cercle, sont des fonctions analytiques de cp, il en résulte que V(#,y) sera une fonction analytique de o sur l'arc a{J. Or nous pouvons prendre pour f(ty) une fonction continue qui ne soit pas une fonction analytique de ^ : telles seraient, par exemple, les fonctions f(t) et o(t) continues de i = oà f = t, que nous avons considérées au Tome I, page 28. On prendrait pour la fonction actuelle /(<]>) la fonction

fi1-

continue alors de<i;:=oàt|; — 271. Elle n'admet pas la période 2 7t, mais la fonction harmonique V(x,y) n'en est pas moins bien définie dans le cercle G, et ne peut être prolongée au delà de la circonférence.

5. Nous allons faire deux remarques générales sur les fonctions harmoniques, qui nous seront plus tard utiles et où nous aurons à iuvoquer la notion de prolongement analytique qui vient d'être étudiée dans les paragraphes précédents.

La première remarque est relative à une fonction harmonique, bien déterminée et continue dans une aire A, et que l'on suppose constante dans une aire B, intérieure à A, et d'ailleurs aussi petite qu'on veut. La fonction sera constante dans A ; en effet, pour faire le prolongement analytique de l'expression en dehors de B, on aura à employer des séries de la forme de celles considérées

au paragraphe %

A0-f-^ rm(Xm cosmcp -+- Bm sinmo).

Tous les coefficients, sauf le premier, doivent être nuls, puisque pour /* assez petit, correspondant à des points dans B, la fonction se réduit à une constante. En étendant donc ainsi la fonction de proche en proche, on voit qu'elle sera constante dans toute l'étendue de A.

La seconde remarque est relative aux valeurs d'une fonction harmonique U à l'intérieur d'un contour C sur lequel elle prend une succession de valeurs. En supposant d'abord cette succession continue, soient M et m le maximum et le minimum de la fonction sur le contour. Je disque, pour tout point à l'intérieur, on

aura

m < U < M (on suppose M ^ r?i],

chaque inégalité excluant l'égalité. La fonction ne peut évidemment prendre de valeurs supérieures à M ou inférieures à m, car autrement elle aurait, à l'intérieur, un maximum ou un minimum. !)<■ plus, il est impossible qu'en un point a de l'intérieur on ait

Ij = M

car, si l'on décrit, autour de a comme centre, un cercle T de rayon arbitraire p, on aurait (Chap. I, § 10)

inégalité impossible, puisque, sur T, U ne peut être constamment I à M.

si l'on suppose que les valeurs de U sur le contour soient discontinues, comme au Cbapitre I (§35), désignons toujours par M <i m le maximum et le minimum (!«• ces valeurs (pour les points Limites, on considérera la valeur comme double, en prenant les '1' <i\ limites). Les inégalités

lubsistenl pour tout poinl intérieur. Eu effet, quand I r. v \ tend

vers un point de discontinuité, la valeur limite de U est comprise entre M et m (Chap. I, § 37) ; il n'y a donc rien à changer au raisonnement précédent.

6. Nous terminerons ces généralités en démontrant un théorème dû à M. Harnack (* ). Considérons d'abord, dans un lemme préliminaire, la suite

u0i U\j W2, . . . , Un-,

de fonctions harmoniques à l'intérieur d'un contour C. On suppose que, sur le contour, la série

(3) U0-hU1-+-...-4-U;i + ...

des valeurs de ces fonctions soit uniformément convergente. Je dis que la série

sera uniformément convergente à Vintérieur de V aire et représentera une fonction harmonique.

D'après la définition donnée (t. I, p. 234) de la convergence uniforme, on pourra prendre n assez grand, e étant donné à l'avance, pour que, en tout point du contour, on ait, quel que soit /?,

| U„ -+- Urf+i -+-...-*- Un+P | < e.

Or, d'après les propriétés des fonctions harmoniques,

1 Un ■+• lhi+l H- ... + Un+p |,

à l'intérieur de l'aire, est inférieure au maximum de

sur le contour ; îl en résulte immédiatement que la série

est uniformément convergente à l'intérieur de Faire.

Montrons maintenant que cette série représente une fonction harmonique. Nous considérons, à cet effet, une circonférence G

(J) Voir l'Ouvrage déjà cité de M. Harnack : Die Grundlagen der Théorie des logatithmischen Potentielles, p. 67 ; 1887.

à l'intérieur de l'aire ; soient

les valeurs de u sur cette circonférence. La série

sera évidemment uniformément convergente sur C. Prenant alors pour le cercle l'intégrale de Poisson

(5> ^jrv.4-v,+...+vB+..oftt aRrRe'-j T)+r,^,

et appelant pn le reste de la série (4) correspondant au rang n nous pourrons, pour les points de l'intérieur du cercle, écrire cette intégrale sous la forme

(6) I/0-f- WiH-. ..-+- M«H / p„ =jt 75 -7