r. J r K2 — 2 H /• cos (y
ûty.
Or|p„|<<s pour tous les points du contour; par conséquent,
la série
est représentée par l'intégrale (5) à l'intérieur du cercle ; elle représente donc une fonction harmonique. D'ailleurs, d'après ce qui précède il est bien évident que cette série tend vers la série des U quand (.x,y) se rapproche d'un point du contour.
Nous pouvons maintenant démontrer le théorème suivant : Soit une série
de fondions harmoniques toutes positives à V intérieur de l'une limitée par un contour C. Si cette série converge en un point O de V intérieur de Vaire, elle convergera en tous les points de £ intérieur de Caire et représentera une fonction harmonique.
Soit V une fonction harmonique positive définie le lon<; d'un
Pcle I de (<ntre () et de rayon R ; on a
Pour un point A de l'intérieur du cercle, on a
AM
1 ^ J a A 1VI
en désignant par r la distance OA, et AM représentant la distance de A au point variable M correspondant à l'angle d» sur la circonférence. Il est clair que
R + '* ÂSÏ2 R~''
Donc, puisque les V sont positifs,
Ceci dit, décrivons, du point O de l'énoncé précédent, un cercle qui soit intérieur à l'aire, la série
U0 4- U{ -+- . . . -+- Lln + . . .
convergera pour tout point intérieur à ce cercle. On a, en effet, quels que soient les entiers n et m,
— (Mo +. . .-f-<+„) < Kj+;..+.«*+m< g— ^ (.K°-+-. . .+ ttg+m-Ji
les w° et les wA désignant, d'une manière générale, les valeurs de u en O et en A. La série convergente pour le point O convergera donc pour le point A. Il est évident qu'elle convergera uniformément sur toute circonférence intérieure à la circonférence primitivement tracée ; d'après le lemme, elle représente, à l'intérieur de celle-là, une fonction harmonique. En allant de proche en proche, on peut atteindre, en considérant une suite de circonférences, tout point de l'intérieur de l'aire, et le théorème se trouve, par suite, établi. On remarquera que la série sera uniformément convergente à l'intérieur de toute aire comprise dans l'aire que limite G et n'ayant aucun point commun avec cette courbe.
DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES. 6l
II. — Fonctions harmoniques à l'infini. Problème de Dirichlet pour l'extérieur d'une aire.
7. Nous avons toujours considéré, jusqu'ici, des fonctions harmoniques pour des valeurs finies de x ely. On étudiera les fonctions harmoniques dans le cas où le point (x, y) s'éloignera indéfiniment, en s'appujant sur la propriété suivante de la transformation par rayons vecteurs réciproques, On sait que cette transformation, quand l'origine est le centre de la transformation, s'exprime analjtiquement par des formules
X = — - -, Y= — - — — — (À étant une constante),
ou des formules équivalentes,
X2-H-Y2' ' X*+Y* Ceci posé, si V (x,y) désigne une fonction harmonique,
k* x fcy
x -+-y* x*-+-yi
sera encore une fonction harmonique.
Ce théorème, que vérifierait immédiatement un calcul direct, peut encore s'établir en se rappelant (t. I, p. 56o) que, si la transformation
conserve les angles, L'équation
à* V <>•>■ V dx* ôy1
«l«\ rent, après le changement de variables,
dX* <)\*
Du théorème précédent, on conclul que L'étude de la fonction harmonique \ i . i i. pour de grandes valeurs de x el de r. pe-
vient à l'étude de la fonction harmonique de X. et Y,
dans le voisinage de X — o, Y = o.
8. Nous pouvons définir maintenant ce qu'on doit entendre par fonction harmonique régulière à f infini. Soit une fonction harmonique V(#, jk), uniforme et continue à l'extérieur d'un cercle V ayant l'origine pour centre, pour toute valeur finie de x et y. En faisant la transformation précédente, nous avons à considérer la fonction
W(X, Y) et une fonction harmonique, bien déterminée et continue, pour tous les points (X, Y) de l'intérieur du cercle T' transformé de T par rayons vecteurs réciproques, sauf peut-être pour l'origine X = o, Y = o» Si ce dernier point est aussi un point ordinaire pour la fonction W(X, Y), on dira que la jonction Y (x,y) est régulière à V infini.
Indiquons une forme remarquable pour le développement de Y(x,y) à l'extérieur de F. Nous avons vu qu'à l'intérieur de T on a, pour W(X, Y).
(8) W(X, Y) = ]>\pm(X, Y),
wm(X, Y) désignant un polynôme harmonique homogène et de degré m en X et Y. On a, par suite,
m = oo
<•> ^>=2^aâ>
vm (#, y) désignant un polynôme harmonique, homogène et de degré m en x et y.
Cette forme de développement à l'extérieur d'un cercle est d'ailleurs caractéristique pour une fonction régulière à l'infini, car on remonte immédiatement du développement (9) au développement (8).
9. Posons-nous maintenant le problème de Dirichlet pour la partie du plan extérieur à un contour donné C. L'énoncé sera alors le suivant :
Trouver une fonction harmonique, continue et unijorme dans V espace extérieur à C, régulière à V infini, et prenant sur G une succession donnée de valeurs.
Ce problème se ramène immédiatement au cas du problème relatif à l'intérieur d'une aire. Transformons, en effet, la figure par rayons vecteurs réciproques, en prenant pour centre de transformation un point intérieur à G. Le contour G se transformera en un contour G', et la fonction que nous cherchons V(,z,y) deviendra une fonction W(X, Y), uniforme et continue pour tous les points intérieurs à G' et prenant sur G' la succession donnée de valeurs. Le problème extérieur est donc ramené au problème intérieur, et l'on voit bien que c'est l'hypothèse faite, que la fonction \ Çx,y) est régulière à l'infini, qui nous permet d'affirmer que la fonction W (X, Y) n'a pas le point X = b, Y = o comme point singulier.
10. Dans le cas de l'espace, nous n'avons pas parlé au Tome 1 <lu problème extérieur. Il y a, à cet égard, une grande différence entre le cas du plan et celui de l'espace, et l'on se tromperait gra- \<ment en posant le problème de la même manière dans les deux cas.
Considérons encore la transformation par rayons vecteurs réciproques
On peut vérifier, avec Sir William Thomson ('), que, si La fonction \ | /■. )-. -j est harmonique, la fonction
fi
yfx* -f- y* -(- z* \ .r2 4- j2 -h ** ' xi-^-yi-hzi x* ■+- y* -i- z2 J
tera encore une fonction harmonique. C'est ce que vérifie sans difficulté un calcul direct.
turnal de Liouvitle, t. xii (extraits de Lettrei adressées à M. LiouTille).
Il en résulte qu'une fonction Y(x,y, z) harmonique et continue dans le voisinage de l'origine conduit, au moyen de l'expression (10), à une fonction harmonique bien déterminée, quand le point (#, y, z) est suffisamment éloigné de l'origine, et qui s'annule à Vin fini.
Cette remarque montre immédiatement comment le problème extérieur doit être posé dans le cas de l'espace. Ce problème consiste à trouver une fonction harmonique continue à l'extérieur d'une surface prenant sur cette surface des valeurs données et s'annulant à l'infini.
III. — Développements en série des fonctions analytiques d'une variable complexe. Théorème de Cauchy. Fonctions élémentaires.
11. Les séries ordonnées suivant les puissances entières et croissantes d'une variable
(il) a04-a12+... + a„^" + ...
jouent dans la théorie des fonctions analytiques un rôle essentiel. Nous avons déjà fait leur étude (t. I, p. 248) quand les coefficients a et la variable z sont réels. Il y a simplement à remplacer le mot valeur absolue par module pour avoir le théorème suivant entièrement analogue à celui qui a été démontré (t. 1, p. 248).
Si, pour une valeur z0 de z, on a, quel que soit n,
|mïI<m,
M étant un nombre fixe, la série sera convergente pour toute valeur de z de module inférieur à | z0 |.
En particulier, si la série converge pour une valeur z0, elle convergera pour toutes les valeurs de z de module moindre. Il en résulte que la courbe séparant les parties du plan où la série converge de celles où la série diverge ne peut être qu'une circonférence ayant son centre à l'origine. Ce cercle est ce qu'on appelle le cercle de convergence de la série.
12. Et d'abord il est essentiel de montrer que la série précé-
dente est bien une fonction analytique de la variable complexe z. En effet, elle rentre dans les séries que nous venons d'étudier. Pour le voir, posons
■xn = an-+- ibn, zn = rn(cosnb -+■ i sin/iO),
la série ( 1 i ) devient
N r"(an cosnô — bn sin nO) -t- iA rn(ba cos/i6 -+- an sinnO).
Soit ( — L, + L) le domaine de convergence commun aux deux séries
(i2) 2""''" et ^b"rn'
Le cercle de convergence de la série ( 1 1 ) sera le cercle de rayon L. En effet, pour une valeur de r supérieure à L, l'une au moins des deux séries (12) est divergente. Or, pour Q = o, la série ( 1 1 ) se réduit à
^Clnrn+i^bnr».
Le rayon de son cercle de convergence ne peut donc dépasser L. Ceci posé, les propriétés de la fonction définie par la série (11) à l'intérieur du cercle de rayon L résultent immédiatement des propriétés établies au paragraphe 2. Cette fonction peut s'écrire
2j ( an Un — bn vn) -+- iS ( bn un -+■ an vn ).
C'est une fonction analytique de 3, car
ZV'IF -**-&)= 2A6"4F+ ""5F
2à \a*lï ~ b» ip ) Œ ~li {*' Tx + "" IF) '
puisque
dun àvn ■ <)u„ àvn
dy ôy dx
Il résulte encore, «les règles de dérivation établies (§2), que La e ( 1 1 ) a une dérivée qui sera représentée par la série
a|4-2aj«+...+ /ia„:" ' ....
PICAM. — II, S
d'où l'on conclut encore l'existence des dérivées de tout ordre à l'intérieur du cercle de convergence.
13. Nous venons de voir qu'une série telle que (n) représente, à l'intérieur de son cercle de convergence, une fonction analytique uniforme et continue. Nous allons maintenant établir la réciproque, qui constitue un théorème fondamental dû à Cauchy et qui s'énonce de la manière suivante :
Si une fonction analytique f(z) est uniforme et continue à V intérieur $ un cercle ayant V origine pour centre, on peut, à V intérieur de ce cercle, la représenter par une série ordonnée suivant les puissances entières et croissantes de la variable z.
Soit
f(z) == U-+-ÎV.
D'après le théorème établi pour les fonctions harmoniques, on a
u =N (a,num-h bmvm),
v =2) ( a'm Uni "+- Vm Vm ).
Or l'identité
du dv àx ây
est ici satisfaite; elle nous donne
dum , àvm\ v^ / , du,„ ,, dv
àx m dx } jLi\ m ày ' m ày
ou encore
dum àvm\ ^i / , àvm du
, àvm\ ^ / dvm
dx '" àx jU
ce qui exige que
Si donc nous formons /(z), il vient
i /( z ) = " -+- ÎV = ^ («m — ibm )(«m+ W m ) =J^ *m **
puisque
DÉVELOPPEMENTS BN SERIES.
wm = rm(cosmy -h i sin/ncp) = z'
Le développement (i3) constitue le théorème de Cauchy. Si, au lieu d'avoir l'origine pour centre, le cercle avait son centre en a, la série procéderait suivant les puissances croissantes de z — a. On aurait ainsi le développement
f(z)= Po-hj^O — a) H-...-*- $m{z — rt),n -+-•••
convergent à l'intérieur d'un certain cercle ayant pour centre a. C'est la formule de Tajlor, car, en différentiant m fois d'après la règle du paragraphe 12, et faisant z = a, on a
Faisons, à propos de ce développement, une remarque qui nous sera utile dans la suite. Soient (C) {fig- 4) le cercle de con-
Fig. 4.
vergence de la fonction/ (2), z et z -h h deux points à l'intérieur de ce cercle. Considérons la différence
dans laquelle nous supposons z fixe et h variable. Ce sera encore une fonction analytique de h qui sera certainement développante •'i une série convergente si le point z-\-h est à l'intérieur du le (y), ayant pour centre le point 3 et tangent intérieurement m cercle de convergence (C). On aura donc, pour tout point z -\- h intérieur au cercle 1
hm
f(z +•/»)= hf{M)
Cette série est toujours convergente dans le cercle y, et nous verrons que, dans bien des eas, elle peut converger au delà.
14. Donnons quelques applications des généralités qui précèdent, et proposons-nous tout d'abord le problème suivant : Trouver une série ordonnée suivant les puissances croissantes
de z
f(z) — a04- a,* -h. . .-t- amzm-ï-. . .
satisfaisant à la condition
La série considérée est convergente à l'intérieur d'un certain cercle (R), dans lequel nous supposons situés le point z et le point £; nous prenons, en outre, le point t tel que
c'est-à-dire de manière que f(z -f- 1) soit certainement développable suivant les puissances de t.
On devra avoir alors l'identité
( «0 h ai t + . . . -+- a,„ tm -+- . . . )f(z )
tm
d'où l'on conclut les égalités
«o=i, «/»/(*)= t a.'.Jm/^W 0 = i, 2, ...),
et, en changeant m en m — i , et dérivant,
On en déduit la relation récurrente
et, par suite,
La série jouissant de la propriété demandée sera donc, si elle
existe, de la forme
a? z* 'ra'.nzm
On vérifie immédiatement qu'elle est convergente dans tout le plan, c'est-à-dire que son rayon de convergence est infini, et elle est bien telle que
lo. La série précédente, dans le cas où a et z sont réels, représente eaz. Faisons, en particulier, a= i, nous obtenons la série
que nous prenons comme définition de ez quand z est une quantité complexe, et il y a bien accord avec les résultats connus. On a, quels que soient z et C,
La fonction ez est uniforme et continue dans tout le plan; sa dérivée est la fonction ez elle-même.
16. De même qu'on définit ez par une série, pareillement, lorsque c sera imaginaire, cos z et sin 3 seront définis par les séries
cos* = ï
Z3 zi
Le rayon de convergence de ces séries est infini. La dérivée <lr sm z est cos z, et la dérivée de cos z est — sin z.
Les trois transcendantes ez, cos£, sinz ne forment pas trois transcendantes distinctes. C'est un résultat bien connu <lù à Euler, 81 que je ne ferai que rappeler. En remplaçant z par ; î dans on obtient immédiatement les relations suivantes :
elt = cos* -f- i sinz, e «'as coiz — i sin z.
d'où l'on conclut
ezi + e-zi
ezi — e-zi
sxnz = :
Il est facile ensuite de vérifier les formules fondamentales
cos(z -4- 1 ) = coss cos£ — sin.s sinJ, sin(z + f)= sin>s cos/ -4- sin< cosz, i = cos2^ -+- sin2z.
17. Une conséquence des formules d'Euler sur laquelle j'insisterai un peu plus est relative à la périodicité def(z).
D'une manière générale, on dit qu'une fonction uniforme d'une variable complexe z est périodique s'il existe une constante a telle qu'on ait
et cela quelle que soit la valeur attribuée à la variable ;. La fonction ez admet la période i ni ; on a, en effet,
L'addition d'une demi-période tu change ez en — ez
gZ+1ti z=- (>z gtii ~ cz *
Terminons en rappelant que, si a et b sont réels, on a
ea-¥ib— ea(cosb ■+■ i si n 6),
et que, par suite, le module de ea+i* est ea, et que son argument est Hun multiple près de 2 w.
18. La notion de l'extension analytique d'une fonction représentée par une série entière
repose sur la même idée que pour les fonctions harmoniques (§3). Soit (fîg. 5) (G) le cercle de convergence de la série précédente. Si l'on considère le point (jr0, y©), on pourra, dans le voi-
sinage de ce point, développer la fonction suivant les puissances de (z — a), (a = x0 -(- iyo), et nous avons vu que ce développement était certainement possible, du moment que le point z était
Fij
à l'intérieur du cercle (y) décrit du point (a) comme centre, tangent intérieurement au cercle de convergence (C). Mais il se peut que le cercle de convergence (T) de la nouvelle série
soit plus grand que (v) et sorte du cercle (G). On aura réalisé alors l'extension analytique de la fonction le long de l'arc a (3. C'est ce qui arrive d'ailleurs pour la plupart des fonctions. Considérons, par exemple, la série
Elle esl convergente pour | z | <[ 1 et divergente pour | z | > 1 ; donc sou cercle de convergence est le cercle de rayon un décrit de l'origine comme centre. A l'intérieur de ce cercle, la série
représente la fonction
Effectuons le développement de cette fonction, autour d'un point n intérieur au cercle C, par la formule de Taylor ; on obtient
i-2 i — al \ a \ 1 — a ) \\ — a /
I** entre crochets esl convergente pour
z al < | 1 — al,
c'est-à-dire lorsque z sera à l'intérieur d'un cercle (T) décrit du pointa comme centre avec un rayon a B égal à | i — a |. Le points pourra donc sortir du cercle (C) (fig. 6), et, en continuant de
proche en proche, on effectuera successivement le prolongement analytique de la fonction sur tout le plan.
Voici maintenant un exemple simple d'une fonction analytique ne pouvant être étendue au delà de la circonférence de convergence. 11 est dû à M. Weierstrass.
Considérons la série
b désignant un nombre positif et c un entier positif.
Cette série est convergente à l'intérieur du cercle de rayon un et elle converge sur le cercle lui-même si b << i ; elle diverge, au contraire, à l'extérieur de ce cercle, puisque le rapport d'un terme au précédent étant
b zcn-cn~i
augmente indéfiniment si | z | >> i.
Le cercle de rayon un est donc le cercle de convergence de la série précédente. M. Weierstrass a montré que la fonction ne pouvait pas être étendue analytiquement au delà de ce cercle. Voici une démonstration très simple de ce théorème que Ton trouve dans la Thèse de M. Hadamard. Nous allons montrer que, si l'extension analytique de la fonction est possible le long d'un arc déterminé a [3 de la circonférence de rayon un, elle est possible pour tout arc de circonférence. En effet, remplaçons, dans
la série, z par
A et A étant des entiers positifs; la série ne changera pas à partir du rang h. Or on peut prendre k et h assez grand pour que
— soit aussi voisin que Ton voudra de tout nombre positif; par
suite, au point ; de la circonférence correspond, par celte transformation, un point aussi voisin que l'on veut de tout point de la circonférence. Si donc la fonction peut s'étendre le long iV un arc, si petit qu'il soit, de la circonférence, Vextension sera possible pour la circonférence tout entière. Mais alors la fonction serait certainement uniforme et continue à l'intérieur d'un cercle de rayon plus grand que un ; la série devrait converger à l'extérieur de son cercle de convergence, ce qui est absurde.
Dans l'exemple précédent, la série dont l'extension est impossible est convergente sur sa circonférence de convergence si b a un module inférieur à unf mais la série des dérivées des termes successifs ne converge pas. M. Fredholm a indiqué un exemple très simple dans lequel la série et toutes ses dérivées sont convergentes sur le cercle de convergence, et où l'extension est d'ailleurs impossible. Cet exemple est fourni par la série très simple,
S1 a"xni
où a est une quantité positive inférieure à l'unité. Le cercle de convergence de cette série est le cercle de rayon un) la série et toutes ses dérivées convergent sur ce cercle. Je me bornerai à affirmer que cette fonction ne peut s'étendre au delà du cercle * de rayon un, renvoyant, pour la démonstration, à la Note de If. Fredholm («).
Un résultat très général dans cet ordre d'idées a été obtenu par If. Bore! ('), qui a montré que la série
(l) Comptes rendus des séances de /'Académie des Sciences, i\ mars 1890. (■) Ei Borbl, Journal de Mathématiques, iN(j<>.
dans laquelle les exposants cn sont des entiers croissants et les coefficients an des nombres quelconques, ne peut être prolongée au delà de son cercle de convergence si le rapport
\fcn
est, a partir d}un certain rang, supérieur à un nombre fixe. Ce théorème est évidemment applicable à la série de M. Fredholm. La considération de certains produits convergents et de divers développements en séries nous permettra bientôt d'indiquer d'autres exemples de fonctions holomorphes dans un cercle et ne pouvant être prolongés au delà de ce cercle.
19. Nous avons fait connaître (t. I, p. 260) un théorème de Cauchy et de M. Hadamard relatif au domaine de convergence d'une série entière. Il n'y a qu'à remplacer les valeurs absolues par les modules pour avoir une proposition applicable aux séries que nous étudions maintenant. Soit donc une série entière
Nous envisageons la suite à termes positifs
Si cette suite contient des termes augmentant indéfiniment, la série donnée n'est jamais convergente, sauf pour z = o. Car il existera toujours des valeurs de m en nombre infini pour chacune desquelles on aura
Vl a>n I > Tjy>
et le terme correspondant amzm ayant un module supérieur à un, la série ne pourra être convergente. Tous les termes de la suite précédente restant compris entre deux quantités fixes, nous pouvons définir un nombre a correspondant à cette suite ( t. I, p. 261), et, par conséquent, le rayon du cercle de convergence
sera égal à •
Un cas particulier intéressant est celui où a = o. Puisque,
d'après la définition même de a, on peut, étant donné e aussi petit qu'on voudra, déterminer m assez grand pour que tous les termes de la suite à partir du rang m soient inférieurs à a-f-e, il en résulte que "'\/\ am | aura zéro pour limite, et nous pouvons énoncer le théorème suivant : La condition nécessaire et suffisante pour que le rayon du cercle de convergence de la série ( 1 5) soit infini est
lim "y/\ am | = o.
20. L'étude de la série ( i5), sur son cercle de convergence, présente de grandes difficultés. On trouvera, sur ce sujet, d'intéressantes propositions générales dans la Thèse de M. Hadamard (4), qui s'est proposé de trouver les points singuliers de la fonction sur son cercle de convergence. Dans son Mémoire sur la théorie générale des séries (2), M. O. Bonnet a utilisé autrefois les rapports entre la théorie des séries entières et celle des séries trigonométriques; citons encore le beau Mémoire de M. Darboux (3) sur l'approximation des fonctions de grands nombres où la nature des points singuliers supposés connus sur le cercle de convergence est utilisée pour la recherche d'une valeur approchée des coefficients.
Nous nous bornerons à renvoyer à ces Mémoires, et nous nous < ontenterons de montrer comment le théorème démontré (l. 1, I» > 4 9 ) , dans le cas où les coefficients et la variable sont réels, peut rire étendu au cas actuel.
Soit c„ un point <lu cercle de convergence, et supposons que la série ( 1 5 ) converge pour z = :„; on peut déduire immédiatement, comme l'a fait Abel, du théorème cité, que la limite des valeurs que prend la série quand z tend vers z0, en suivant le rayon allant de l'origine au point z0, est égale à la valeur même de la série pour z z0. Mais, comme nous Talions voir, on peut aller
(') I a V étude des fonctions données par leur développement de
lor (Journal de Mathématiques, 1892).
(') Mémoire sur la théorie générale des séries (Mémoires des Savanti
ubliéi par l'Académie de Belgique, t . \ \ 1 1 1 ) . (») Mémoire sur l'approximation des fonctions de très grands nombrei
imnl de Liouville, 1877).
un peu plus loin en montrant que le théorème subsiste, quand z (restant bien entendu à l'intérieur du cercle) tend vers z0 suivant une courbe qui n'est pas tangente en z0 au cercle de convergence. Il n'y a d'ailleurs presque rien à changer au raisonnement d'Abel. Nous supposerons, comme il est évidemment permis, grâce à une rotation préalable d'axes, que z0 est réel et positif.
La série
a0 -+- a 1 z -H . . . -f- an zn -h . . .
étant convergente pour z = Zq, on peut prendre n assez grand pour que les sommes suivantes
Sq = anz0,
si = a^JI + c+ia^1, •*• • • • '• j
S p = dn 2() -+- .,.-+- dn-^-p Zq
aient, quel que soit /?, leur module compris entre — e et -h e, £ étant une quantité donnée à l'avance aussi petite que l'on voudra. Ceci posé, on peut écrire
anzn-h. . .-+- an+pzn+l>
= anznA—\ +...-han+pz$+Pl —
On aura, par conséquent, en posant
p, 1 = r(cosa -+- 1 sina),
zo
et remarquant que p est inférieur à un,
1 1 — pp r r "1
\anz» -+-... -h an+pzn+P\ <r.e. -j-j- -f- e < e — (- 1 ;
or, quand z tend vers z0l r tend vers zéro et p tend vers l'unité, et, comme on a
p* = (1 — r cosa)*-f- r* sin*a = 1 — ar cosoc -h r!,
il en résulte
i — p 2 cosoc — r
Or l'angle a représente l'angle fait par la droite (zz0) avec le rayon allant en z0 ; donc, d'après l'hypothèse faite, cosa ne tend
pas vers zéro, par suite reste fini. La démonstration s'achève
maintenant bien aisément. 11 résulte de l'inégalité ci-dessus que le reste de la série, correspondant au rang /i, sera, quel que soit z, de module moindre que Ms, M étant un nombre fixe. D'autre part, la somme des n premiers termes, étant un polynôme, est une fonction continue de 3; si donc z est suffisamment voisin de z0, la différence des valeurs de ce polynôme en z et en z0 aura un module moindre que s. Les deux séries pour z et z0 différeront donc d'une quantité dont le module n'atteindra pas
ce qui revient à dire, puisque e est une quantité donnée à l'avance aussi petite qu'on voudra, que la limite des valeurs de la série, quand z tend vers zQ, est égale à la valeur même de la série pour
z == zQ.
21. Examinons, comme exemple de l'étude d'une série sur son cercle de convergence, le cas particulier assez étendu suivant : On suppose que, dans la série entière
les coefficients a(M a,,..., a„,... soient tous réels, positifs, et aillent en décroissant, que la limite de -2ii soit l'unité . et la
limite de ocn, zéro.
Remarquons de suite (pie, si la série était à termes alternativement positifs et négatifs et que, si les coefficients satisfaisaient en valeur absolue aux conditions précédentes, il suffirait de changer
n - z pour obtenir une série à termes positifs de la nature de celles que qous avons en vue.
Le rayon de convergence de la série précédente est évidemment
1 unité, puisque la limite de -2±i z est z.
Cela étant, nous allons démontrer que : La série entière considérée est convergente pour tous les points du cercle de convergence, sauf peut-être pour le point z = i .
Pour un point quelconque du cercle de convergence (Pt= i),
on a
z = cosô -+- i sinO.
La série que nous avons à étudier est donc de la forme, en séparant la partie réelle et la partie imaginaire,
A-f- t'B = a0-h <xl cosô -(- a2 COS26 -4-. . . -+- a„ cos/18 -h. . . -+- i[%i sinô H-a2sin26-+-...-han sin/i0 -h. . . J.
Or nous avons vu (t. I, p. 333) que les deux séries A et B étaient convergentes pour toutes les valeurs de 8, sauf peut-être pour 9 = 2 Xtti; notre proposition est donc démontrée.
22. Deux séries importantes rentrent dans le type précédent. Considérons d'abord la série
z z% z* . zn
Lorsque z est réel et compris entre — 1 et H— 1 , elle représente log (1 -\-z). Ses coefficients satisfont aux conditions précédentes : le rayon de son cercle de convergence est un et elle est convergente pour tous les points de ce cercle, sauf peut-être pour le point z = — 1 qu'il y a lieu de considérer en particulier. En ce point on a la série harmonique qui est divergente.
