Considérons en second lieu la série
dans laquelle nous supposerons m réel. Cette série représente (1 -\- z)m lorsque z est réel et compris entre — 1 et 4- 1 : son cercle de convergence a pour rayon l'unité.
Cherchons dans quel cas la série des coefficients
satisfait aux conditions précédentes.
Nous avons déjà étudié cette série (t. I, p. 25 i).
Si m -f- i << o, les coefficients iront certainement en croissant à partir d'une certaine limite. On ne peut donc pas appliquer à la série (16) les conclusions qui précèdent. Elle sera divergente .sur tout le cercle de convergence.
Si au contraire on a m -\- 1 >> o, la série des coefficients est convergente, et ses termes à partir d'une valeur suffisamment grande de m seront alternativement positifs et négatifs. La série proposée (16) est donc convergente sur tout le cercle de convergence, sauf peut-être pour le point z = — i. En ce point même elle sera convergente si m est positif.
On trouvera des exemples plus étendus dans le Mémoire de M. Weierstrass [Ueber die Théorie der analytischen fFacultdten (Journal de Crelle, Band 51 ) ].
Procédé alterné de M. Schwarz.
I. Comme nous l'avons dit (Chap. I, § 30), on peut, dans des cas étendus, passer, pour le problème de Dirichlet, d'un contour convexe à un contour plus compliqué. C'est ce qu'a montré M. Schwarz en faisant usage d'une méthode que nous allons exposer ( ' ).
Un lemme préliminaire nous sera nécessaire. Etant donnés un
contour aCbC et une courbe adb rencontrant le contour en a et b sans lui être tangent, nous avons considéré (fig. 7) la fonc-
Fig. 7.
tion u harmonique prenant sur aCb la valeur zéro et sur aC b la valeur un. Nous avons vu que cette fonction tend vers une quantité comprise entre zéro et un quand (a?, y) tend vers a ou b sur la
courbe adb. D'autre part (Chap. II, § 5), pour tout point de l'intérieur de l'aire, u n'atteint pas la valeur un ; il en résulte que la
(!) Schwarz, Monatsberichte, 1870, et Œuvres complètes, t, U, p. 167. Voir aussi une lettre du même auteur à M. Klein {Œuvres complètes, t. II, p. 3o3).
DE LA MÉTHODE ALTERNÉE. 8l
fonction sur l'arc adb est inférieure à un nombre q plus petit que un. Nous avons donc
u < q (sur l'arc adb),
q étant plus petit que l'unité.
De cette remarque, on déduit une conséquence qui va jouer, dans la suite, un rôle fondamental. Désignons par v une fonction harmonique, prenant sur aCb la valeur zéro et sur aCb des valeurs dont le module (valeur absolue) ne dépasse pas g\ La
fonction
gu-h V
sera nulle sur aCb et positive sur aC b. Donc, pour tout point de
l'intérieur de l'aire
gu-^ v > o;
mais nous pouvons écrire cette inégalité sous la forme
et, puisque sur adb. u <C q-, il faut nécessairement que
v ~+~ ëa > ° (sur adb).
De même, on a
— gU + V < O
à l'intérieur de l'aire, et l'on en conclut
v — gq < o (sur a(/6).
On a donc, sur l'arc adb,
I v | < gq :
c'est L'inégalité fondamentale que nous voulions obtenir.
2. Nous abordons maintenant l'étude du procédé alterné de M. Schwarz, et, pour plus de netteté dans l'exposition, plaçonsnoua dans les circonstances les plus simples.
Nous considérons deux contours limitant deux aires qui onl un. partie commune. Appelons a la portion du premier contour rieure au second, et a la portion intérieure à ce second contour. !)<• même 6 et ^désigneront respectivement les portions du
»•!( Util. II.
second contour extérieure et intérieure au premier. On suppose que l'on sache résoudre le problème de Dirichlet pour le contour (aa) et pour le contour (6£i); nous allons montrer qu'on pourra résoudre le problème pour le contour (ab).
Nous supposons donnée une succession continue de valeurs sur
Fig. 8.
(ab) ; on désignera par g le maximum de leur valeur absolue. D'autre part, à l'arc (3 considéré par rapport au contour (aa), correspond un nombre plus petit que un, d'après le paragraphe précédent, et de même pour l'arc a considéré par rapport au contour (bfi) correspond un autre nombre plus petit que l'unité; soit q le plus grand de ces deux nombres.
Formons une fonction harmonique ut définie dans le contour (a a), prenant sur a la succession donnée de valeurs et sur a une succession continue de valeurs uniquement assujettie à la conditien de prendre en m et n les mêmes valeurs que la première. Cette fonction aura certaines valeurs sur (3. Nous formons alors une fonction vK définie dans (6(3), prenant sur b la succession donnée de valeurs et sur fi les mêmes valeurs que a/. La fonction vK prend certaines valeurs sur a; on formera une fonction w2> définie dans (aa), prenant sur a la succession donnée de valeurs et sur a les mêmes valeurs que vs et l'on continue ainsi indéfiniment. On obtient, de cette manière, deux suites de fonctions
Pf °y UU Ut, ..., Un, ...,
définies respectivement dans (a a) et dans (bfi). Les u prennent sur a les valeurs données et les v prennent aussi sur b les valeurs données; un et vn prennent les mêmes valeurs sur (3, tandis que un et Vn~\ prennent les mêmes valeurs sur a : c'est ce que nous indiquons, pour plus de facilité dans la suite des raisonnements,
par les flèches placées à gauche des deux suites. Nous allons établir le théorème suivant :
Les fonctions un et vn tendent chacune vers une limite quand n augmente indéfiniment. Ces limites représentent deux fonctions harmoniques qui coïncident dans Caire comprise entre a et (}.
Remarquons que
m3 — m2= t>2 — Pj (sur l'arc a).
Or, r2 — V\ est nul sur b, et l'on a
vi — vx = m2 — a, (sur l'arc (3).
Donc, sur l'arc a, | v2 — V\ | est moindre que le maximum de | ui — u\ | sur ? multiplié par q. Si, d'autre part, on remarque que u2 — u{ s'annule sur a, on voit que le maximum de | u2 — a, | sur p sera moindre que le maximum de \ u2 — ut\ sur a, multiplié par q ; on aura donc, d'après ces inégalités successive*.
J M3 — Mj | < q2 (maximum de j wa — ux \) (sur l'arc a). Le raisonnement est général; on a, de même, | un — ttn, | < q2 (maximum de | un~i — un~t \ ) (sur l'arc a).
Si donc l'on pose : maximum de | u2 — ut \ = g sur l'arc a, on aura
| un— un-\ \<qî{n-'l)g (sur 'arc a).
Or
//„= ttl + (K|-«i)+...+ (Un — W«-l)-
Il en résulte que un tend vers une limite déterminée en tous les points de l'arc a; de plus, pour tous ces points, //„ tend uniformément vers ^;i limite.
La séj i'
,h . ( ,,7— in) -h. ..-h {lln— Un 1 )"+-...
Formée avec des fonctions harmoniques, étant uniformément con-
ur le contour (a, a), est donc < onvergente à l'intérieur
utour, d'après le théorème de M. Harnack (Ghap. II, §6), ei
représente une fonction harmonique que nous désignerons par u. La fonction u prend sur a la succession donnée des valeurs. Des raisonnements tout semblables montrent que vn a pour limite une fonction harmonique P, définie pour le contour (bfi), et prenant sur b les valeurs données. Or, sur [3, un = vn et sur a, un = vn i . Par conséquent, sur l'arc a et sur l'arc [3, on a
Ces deux fonctions harmoniques, prenant la même succession continue de valeurs sur les arcs a et [3, coïncident nécessairement dans l'aire limitée par ces deux courbes. Une conséquence immédiate en découle ; la fonction v est le prolongement analytique de la fonction u au delà de l'arc a. L'ensemble des deux fonctions u et v sert donc à définir une même fonction harmonique à l'intérieur de l'aire limitée par a et 6; à l'intérieur de la courbe («a), on se servira de u pour avoir la valeur de cette fonction, et l'on se servira de v pour avoir sa valeur à l'intérieur de la courbe (6(3). L'unique fonction ainsi définie prend sur a et b la succession donnée de valeurs, et le problème de Dirichlet est, par suite, résolu pour l'aire limitée par ces deux courbes.
3. Nous nous sommes placé, dans l'exposé précédent, dans des circonstances particulièrement simples. Les deux courbes considérées avaient seulement deux points communs m et p. D'autres cas pourraient se présenter, un peu plus compliqués, mais où la méthode s'appliquerait pour ainsi dire sans modification. Ainsi, par exemple {fig> 9), dans le cas où les deux courbes auraient
quatre points communs, m, /i, /?, q, si l'on sait résoudre le problème de Dirichlet pour chacune des deux courbes, on pourra le résoudre pour la courbe extérieure à chacune des deux aires considérées. Les arcs appelés, tout à l'heure, a et |3 seront ici formés
chacun de deux arcs distincts, ce qui n'entraîne aucune différence dans la suite des raisonnements.
Indiquons encore un cas un peu différent où l'on pourrait employer le procédé alterné. Je suppose que l'on sache résoudre le problème de Dirichlet pour toute aire limitée par un seul contour; nous voulons montrer que le procédé alterné permet de le résoudre pour une aire limitée par un nombre quelconque de contours. Il suffira de considérer une aire limitée par deux contours C et G' (fig. 10).
Nous traçons deux courbes mrc, pq ne se coupant pas et reliant,
l'une et l'autre, un point de C à un point de C Si l'on considère la courbe mn comme une courbe ayant deux bords, on peut dire que les courbes G, G' et mn limitent une aire A, et, par hypothèse, on sait résoudre le problème de Dirichlet pour une telle aire. De la même manière, la courbe pq avec les courbes G et G' limitera aussi une aire B qui n'a qu'un contour. Ceci posé, donnons-nous sur les deux bords de mn une succession continue, d'ailleurs arbitraire, de valeurs; nous supposons seulement que ces valeurs en m et n coïncident avec les valeurs données sur C et G'. On résoudra le problème de Dirichlet, pour l'aire A, en prenant ces valeurs sur mn et les valeurs données sur G et G'; on obtiendra ainsi une fonction m, prenant certaines valeurs sur pq. Considérant alors l'aire B, nous résolvons pour cette aire le problème de Dirichlet, en prenant sur G et C les valeurs données, et sur les deux bords de pq les valeurs de u, ; on obtient ainsi la fonction c,. On continue ainsi indéfiniment, en considérant alternativement les aires A et B. Les fonctions un et v„ ont respectivement deux limites // et y, qui prennent les mêmes valeurs le long de rnr, et le long de pq* Les deux fonctions u et v coïncident donc pour t«. ns les points de l'aire limitée par C et G'.
Les valeurs de u. de part et d'autre de /////. pourraient n'être
pas le prolongement analytique les unes des autres, et, pour la fonction P, la coupure pourrait être pq. Mais, puisque u = u en tous les points de l'aire, il s'ensuit que ni mn1 ni pq ne sont des coupures et que la fonction représentée par u ou par v résout le problème de Dirichlet pour l'aire limitée par C et G'.
Quant à la démonstration des résultats précédents, ils résultent de ce que le lemme paragraphe 1 est ici applicable. Si l'on considère une fonction définie dans l'aire A, prenant sur G et C' la valeur zéro et sur les deux bords de mn la valeur un, on aura évidemment, en tous les points de pq,
q étant inférieur à l'unité, et c'est cette remarque qui a joué le rôle essentiel dans l'exposition de la méthode alternée.
4. Faisons une application importante du procédé alterné. Nous avons démontré plus haut la possibilité de résoudre le problème de Dirichlet pour tout polygone convexe, à l'exclusion seulement du quadrilatère et du triangle. Il est clair que le procédé alterné nous permet de considérer ces deux cas. Soit, en effet, le triangle abc {fig- n). Nous pouvons tracer le pentagone ca^yS
et le pentagone aèy'3'a'. Pour ces deux pentagones, on peut résoudre le problème, et par suite le procédé alterné nous conduira, en prenant ces deux polygones, au triangle abc.
Montrons maintenant que le problème pourra être résolu pour tout polygone, qu'il soit ou non convexe. Il suffira de prendre le quadrilatère concave abcd (fig> 12); en prolongeant ad et de nous avons les deux triangles aba et bed' , et, par suite, nous pouvons passer, à l'aide de ces deux triangles, au quadrilatère abcd.
Il est inutile d'insister pour montrer que, dans un polygone ayant un certain nombre n d'angles rentrants, on peut résoudre le pro-
Fig. 1:
blême si l'on suppose qu'il ait été résolu pour un polygone ayant seulement n — 1 angles rentrants.
En définitive, nous savons maintenant résoudre le problème de Dirichlet pour une aire limitée par une ou plusieurs lignes polygonales fermées absolument quelconques. Pour le cas des aires limitées par plus d'une ligne polygonale, on emploiera des lignes droites comme coupures mn, pq du paragraphe précédent.
