I. — Propriétés fondamentales du potentiel logarithmique

1. Avant d'exposer la méthode de M. Poincaré, nous devons faire connaître les propriétés fondamentales de la fonction connue sous le nom de potentiel logarithmique.

Le potentiel logarithmique est, pour le cas du plan, l'analogue du potentiel ordinaire que nous avons étudié au Tome I pour le cas de l'espace. Dans l'espace, la loi de l'attraction était la loi de la raison inverse du carré de la distance. Dans le plan, on suppose que les points s'attirent en raison inverse de la distance : les composantes de l'attraction exercée par un point A (a, b) de masse m sur un point M (a?, y) de masse un, seront alors

où r2 = (x — a)2 -f- {y — b)2. En posant

V = m log -, r

on aura

dx dy

et V sera dit le potentiel logarithmique.

Si l'on a des masses remplissant d'une manière continue une certaine aire, avec une densité p fonction continue de (a, b),