SOLUTION DU PROBLÈME DE DIRICHLET

on a

(a-x)pdadb f f {b—y)o dadb

X= f f (a — x)?dadb Y= f f

les intégrales étant étendues aux masses agissantes. Dans tout ce qui suit, p sera une quantité essentiellement positive, comme nous l'avons d'ailleurs supposé dans la théorie de l'attraction pour le cas de l'espace. Le potentiel V sera défini par l'intégrale double

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- da db.

2. L'étude de cette fonction V est entièrement semblable à l'étude de la fonction désignée par la même lettre, que nous avons étudiée au Tome I (Ghap. Vil et VIII). Nous ne croyons pas utile d'insister sur les démonstrations, et il nous suffira d'énoncer les résultats.

Le potentiel logarithmique est une fonction continue de x et y dans tout le plan, ainsi que ses dérivées partielles du premier ordre, et l'on a pour tout point (#, y)

dx dy

L'étude des dérivées secondes se fait (voir loc. cit.) en supposant que p ait des dérivées partielles du premier ordre pour tous les points intérieurs à la masse.

Des raisonnements analogues montrent encore que les dérivées secondes sont aussi continues à l'intérieur et à l'extérieur des masses agissantes, mais elles sont discontinues pour la courbe de séparation.

Pour tout point extérieur aux masses, la fonction V est harmonique; pour tout point (#, y) intérieur, on a, au contraire,

AV = — 2 7ip,

p désignant la densité au point (x, y).

ajoutons que la fonction V ne s'annule pas à L'infini <it (jubile peut avoir un signe quelconque; ces deux circonstances Boni fort importantes <'t. dans l«'^ applications, elles rendenl souvenl plus

difficiles les questions concernant le cas de deux dimensions. En effet, pour l'espace, V est toujours positif et s'annule à l'infint.

3. Nous venons de considérer le cas où la distribution des masses est superficielle ; nous aurons à considérer tout à l'heure des masses dont la distribution est linéaire, de telle sorte qu'on a alors

V= / plogjds,

l'intégrale étant étendue à la courbe sur laquelle est étalée la couche attirante de densité linéaire p. Dans ce cas V est encore une fonction continue dans tout le plan, mais les dérivées du premier ordre éprouvent une discontinuité en traversant les courbes attirantes. C'est ce que nous avons rencontré pour les surfaces attirantes (t. I, p. 2o5); les démonstrations sont entièrement analogues dans les deux cas.

4. Développons davantage deux propriétés du potentiel logarithmique qui veut jouer un rôle essentiel dans la méthode de M. Poincaré.

La première est relative à la substitution aux points attirants à l'intérieur d'un cercle d'une couche linéaire placée sur sa circonférence.

Soient un cercle de centre O et de rayon R, A un point extérieur et P un point intérieur.

La quantité log-r-p» dans laquelle nous considérons le point A

comme fixe et P comme variable, est une fonction des coordonnées de P, harmonique dans tout le cercle. En tout point M de la circonférence, elle prend la valeur log — - • On aura donc

. i r i R*-OP .

logÂP = / ,ogÂM =r^'

d'après la formule de Poisson qui résout le problème de Dirichlet pour le cas du cercle. Nous savons, d'autre part, d'après la même formule, que . TR*- ÔP2 ,

J arR.MP