R'— OP

g^< Bûp'A<l,'Âf

Nous avons donc démontré le théorème suivant : Quand une

masse égale à l'unité est placée en un point P de L'intérieur d'un

le, si l'on repartit cette masse sur toute la circonférence, de

manière que la densité en un point quelconque M de celle-ci soit

inversement proportionnelle au carré de MP, la couche circulaire

ainsi obtenue aura même potentiel que la masse primitive en

tout point extérieur et un potentiel plus petit en tout point

rieur.

Si, au lieu d'un seul point, on en a plusieurs ou bien une

•it linéaire, soil superficielle, ou pourra substituer aui

points attirants à l'intérieur du cercle une coin lie linéaire placée

sur sa circonférence; cette couche aura même potentiel pour les points extérieurs et un potentiel plus petit pour les points intérieurs.

5. La seconde propriété que nous avons à développer est relative à la moyenne du potentiel logarithmique le long d'une circonférence.

Soit une circonférence C de centre O et de rayon R; si un point attirant P est extérieur à la circonférence, le potentiel

V = mlog-,

r désignant la distance de ( x, y) à P, sera harmonique et continue dans G, et par conséquent, d'après un théorème établi au début de l'étude des fonctions harmoniques, la moyenne de V sur le cercle, c'est-à-dire

■ikfVds>

sera égale à la valeur au centre, c'est-à-dire à mlog^rp* On a

donc

0\1 .V = m log p-p (»7rt.V = moyenne de V sur la circonférence).

Si le point attirant P est à l'intérieur de la circonférence, cette formule n'est plus applicable. Pour obtenir la moyenne de V, nous procéderons de la manière suivante : décrivons des points O

et P des circonférences r' et V de rayons y' et y, suffisamment petits pour qu'elles soient intérieures à C et extérieures l'une par rapport à l'autre, et désignons par r la distance du point attiré

M(#, y) au point 0(fig. i3). On a, en posant V = m log— >

SOLUTION DU PROBLÈME DE DIRICHLET. g3

en appliquant la formule de Green à la surface limitée par les trois courbes C, T et T',

Jç \ dn an ) Jy \ an an )

Jl"\ dn dn J

les dérivées étant prises suivant les normales aux courbes géométriques.

Les deux intégrales qui forment le second membre de cette égalité sont égales et de signe contraire, car, puisque la grandeur «lu rayon de la circonférence sur laquelle on intègre est indifférente, on passe de l'une à l'autre en permutant /' et r* et en changeant le signe. On a donc

rf-ï£'i

an an

ou

D'autre part, on a

rdx rd\

I —r- as = I -7— as = 2 - m ; Je. dn Jr dn

donc

m lo^ — 2 t. — — / V ds — 0

mi

DTLV = mlog-i.

I) une manière générale, en désignant par m les masses extérieures et par 'x les masses intérieures, on aura

311 V =2 m log i- -h log ~ ^ P>

r désignant la distance du point <le masse /// au centre <le La circonférence. On a supposé l»'s masses isolées; la formule s'étend d elle-même .1 des masses continues, Linéaires ou superficielles, el elle conseï ni fi cation si les masses attirantes rencontrent

la circonférence C : les sommes ^ sont, bien entendu, à remplacer par des intégrales.

6. De cette valeur de la moyenne, on conclut que le potentiel logarithmique V provenant de masses positives n'est pas susceptible de minimum. Il suffît pour cela de démontrer que, quel que soit le point B considéré sur le plan, on ne peut avoir

V>VB,

pour tout point d'un cercle, concentrique au point B, ayant un rayon R assez petit. On a, en effet, les notations étant les mêmes que précédemment,

SlLV^mlogl+log^f.; ' d'autre part,

vB=2mlog7- ^"2 ^{o^y d'où, en retranchant,

OILV-Vb =2 f ('°g£ - log'i) =2 H los(ïï)-

Or log^ est négatif, les masses pi sont positives, donc

DXi V < VB,

et ceci est en contradiction avec l'hypothèse du minimum qui

entraînerait

.m-V>VB.

Plus généralement, on pourrait démontrer que, quel que soit le signe des masses superficielles attirantes, la fonction V n'est pas susceptible de minimum dans les régions du plan qui appartiennent à des masses positives et qu'elle n'est pas susceptible de maximum dans les régions du plan qni appartiennent à des masses négatives.

7. Terminons par une dernière remarque qui trouvera aussi son application. Supposons tracé sur le plan un contour simple ou multiple pour lequel on sache résoudre le problème de Dirichlet,

SOLUTION DU PROBLÈME DE DIR1CHLET. o5

la fonction V étant d'ailleurs supposée provenir uniquement de masses positives. Désignons par co la fonction, harmonique à l'intérieur du contour, et qui prend sur ce contourles mêmes valeurs que V. Comme, pour tout point intérieur B, on a Oïl co = u)B, il en résulte que la fonction V — co n'est pas susceptible de minimum; or elle est nulle sur le contour : donc elle est positive à l'intérieur.