II. — Méthode de M. Poincaré (' I

8. Nous partons d'une aire quelconqne S limitée par un ou plusieurs contours s. Je dis tout d'abord que Von peut toujours trouver des cercles G, tout entiers intérieurs à S, jormant une suite indéfinie à indices entiers positifs

Cj , C-2, . . . , Cn, . . . ,

et tel que tout point intérieur à S soit intérieur au moins à l'un de ces cercles.

Pour le faire voir, considérons dans S une région R dont tous les points soient à une distance de s supérieure à une quantité o. Soit o une longueur plus petite que o; traçons une série de paral-

Lèles aux axes de coordonnées, ayant entre elles la distance — .

Nous formons ainsi une infinité de carrés dont la diagonale est o . Noua ne [(tiendrons parmi eux que ceux qui sont en totalité ou en partie intérieurs à H : soit n le nombre de ces carrés. Tout point de R est alors intérieur à un de ces n carrés ou sur son contour. Ceux mêmes de ces carrés qui sont partiellement extérieurs a \\ sont encore Intérieurs à S, puisque leur plus grande dimen- -i"ii 8 es! inférieure ;i o.

(l) M. Poincaré i développé sa méthode dans son Mémoire de Y American journal of Mathematirs (t. IX) en considérant le cas <\<- l'espace I troia dimen- *iom. Pour le principe de la méthode, il n'y a aucune différence entre le < as de I espace i-x celui du plan; il n'en eal pas ton l à fait de. même des démonstration! qui doivent - /. notablement modifiées. Dam ^.i Thèse, M. Parafa exposé,

pour le plan, la méthode de M. Poincaré; noua avons tiré grand parti, pour notre

'i,dc a tr.ivail tail .on: beaucoup de ftOl'n.

Soient 0{ , 02, . . • , Ou les centres de ces carrés : de chacun de ces

points comme centre, avec un rayon intermédiaire entre - et ->

décrivons une circonférence. Chaque carré est alors tout entier intérieur au cercle correspondant, lequel est toujours intérieur à S ; chaque point de R est alors intérieur à l'un de ces n cercles. Imaginons alors une série de longueurs 8|, 02,». . . 8«,. . , décroissant et tendant vers zéro. Appelons R0 la région formée par l'ensemble des points de S dont la distance à s est supérieure à 0,, puis, d'une manière générale, appelons R; l'ensemble des points de S dont la distance à s est comprise entre ô; et 8i+,. Ces diverses régions ne seront d'ailleurs pas nécessairement connexes, mais cela n'est pas utile. Construisons dans R0 les cercles

Ci, G2, Cno, comme plus haut, puis dans R, les cercles

et ainsi de suite indéfiniment. L'ensemble de tous ces cercles

forme une suite

qui remplit manifestement les conditions énoncées.

9. Après avoir construit dans S la famille des courbes Ct-, traçons encore» une courbe fermée L qui contienne dans son intérieur l'aire S ; nous pouvons supposer que ce soit une circonférence L d'un rayon suffisamment grand. Désignons par T la partie du plan intérieur à L.

On se donne par hypothèse sur la courbe s, qui limite S, une succession continue U de valeurs.

Admettons que l'on puisse trouver une fonction V0 (x, y), continue ainsi que ses dérivées partielles des trois premiers ordres

dansT, et se réduisant à U sur s. C'est en partant de cette fonction V0 (#, y), prise en quelque sorte comme première approximation, que nous voulons arriver à la solution du problème de Dirichlet.

Supposons d'abord que AV0 soit constamment négatif dans T.