SOLUTION DU PROBLÈME DE D1RICHLET

Si alors on pose

p sera une fonction positive dans T. Imaginons une masse répandue d'une manière continue sur T et dont la densité en chaque point soit justement la fonction p. Cette masse aura un potentiel W0, et l'on aura dans toute la région T

AW0 = -2-o = AV0) donc A(W0 — V0) = o.

La différence W0 — V0 est donc une fonction harmonique; elle est parfaitement déterminée, puisque nous connaissons W0 et V0 pour tous les points de T. En posant W0 — V0 = 0, on aura sur le contour s

et la fonction 0 sera harmonique.

Les masses qui donnent naissance au potentiel W0 sont toutes positives, et une partie d'entre elles est intérieure à S. Envisageons en particulier celles qui sont intérieures au cercle C< ■; nous avons appris à former sur le cercle une couche équivalente à ces masses. Ayant a répéter souvent cette opération, nous l'appellerons, pour abréger, le balayage du cercle Q. On peut dire alors que le balayage du cercle Q ne chance pas le potentiel en un point quelconque extérieur à C0, mais le diminue en tout point intérieur. Cette opération n'introduit d'ailleurs jamais des masses négatives.

Balayons d'abord successivement tous les cercles, dans un ordre tel que chacun d'eux soit balayé un nombre infini de fois. Il suffira pour cela de les balayer dans l'ordre

on ae tiendra aucun compte de ceux qui ne contîendronl plus aucune niasse quand viendra leur tour d'être balayé.

Appelons enfin \\ h ce que devient le potentiel après la /.""" opération : nous allons comparer entre elles les valeurs des différentes fonctions \\ /, en un même poinl \ de T et démontrer qu'en chacun de ces points \\ /, tend vers une valeur détermim

10. Il esi évident que, si \ esl extérieur au cercle balayé à la