FM. W,|,. — II

/cième opération, on aura

wA=;vvw.

Dans le cas contraire, on aura Donc, dans tous les cas,

et remarquons que, pour tous les points à l'extérieur de S, on a

Ainsi Wk ne va jamais en croissant quand l'indice augmente. D'autre part, en vertu de la propriété du potentiel logarithmique dû à des masses positives, établie au paragraphe 7, W* est, en chaque point, supérieur à la valeur de la fonction harmonique co, qui prend sur la circonférence T, ou sur toute une circonférence comprenant S à son intérieur, les mêmes valeurs que W0. Donc W* tend vers une limite bien déterminée W en chaque point A de T.

11. Nous allons démontrer maintenant que cette limite W, bien déterminée en chaque point A de S, tend vers

Uff +

quand A tend vers le point <j du contour ('). La même propriété (§ 7) va encore nous servir. Nous allons considérer comme résolu le problème de Dirichlet dans le cas d'un contour formé de deux circonférences concentriques et dans celui d'un contour formé par une ellipse et la portion de droite qui unit les deux foyers, considérée comme droite double (2).

Cela posé, considérons d'abord les points o- du contour s qui admettent une tangente bien déterminée. Nous pouvons construire un premier cercle tangent en a au contour s et tout entier exté-

(x)La démonstration dans le cas de l'espace est beaucoup plus simple que dans le cas du plan et l'on n'a pas besoin d'employer les artifices auxquels nous avons dû recourir.

C1) Le cas de deux cercles sera traité à la fin de ce Chapitre et le cas de deux ellipses homofocales au Chapitre X.

SOLUTION DU PROBLÈMK DE DIRICIILET. 99

rieur à S, et ensuite un second cercle concentrique au premier, contenu tout entier dans T et comprenant S à son intérieur, ce qui est possible, si la région T a été prise assez grande et si le rayon du premier cercle est assez petit. Soit w la fonction harmonique entre les deux cercles, et prenant sur ces cercles les mêmes valeurs que W0, on aura pour tout point A de S,

Imaginons maintenant que le [point A tende vers t ; W* et o) tendent tous les deux vers la valeur de W0 en i ; donc W tend aussi vers cette valeur , qui est

(.3) Uff+eff.

Lorsque la tangente en t est complètement extérieure à S, nous aurions pu, au lieu des deux circonférences précédentes, n'en considérer qu'une tangente en ? à s et comprenant S à son intérieur, et cette construction s'applique même au cas où le point n serait une pointe, pourvu qu'on puisse, par ce point, mener une droite complètement extérieure à S.

En général, lorsque le point t est une pointe, telle que A, par exemple {fig. 1 4 )? on ne pourra pas tracer toujours une ou deux

circonférences, remplissant Les conditions précédentes, mais s l 'on peut mener par A un petit segment de droite A A extérieur a L'aire S, on prendra alors pour déterminer <-> !•' contour formé par une ellipse extérieure à S, ayant pour foyers A et A', et par l.i portion <1<- droite AA' considérée comme droite double.

La méthode précédente ne s'appliquerait pas si l'on avait au point A une pointe rentrante formant un rebroussement de seconde espèce. I ne discussion plus approfondie est alors nécessaire; on la trouvera dans le travail déjà cité de M. Paraf.

$^Ëff^>

12. Nous avons constaté dans les paragraphes précédents l'existence d'une fonction W(#, y) définie dans l'intérieur de S, et tendant vers l'expression (3) quand le point (#, y) se rapproche d'un point quelconque cr du contour. Nous allons maintenant établir que cette fonction est harmonique.

Envisageons un des cercles Ga par exemple, et supposons que ce cercle soit balayé aux opérations a,, a2, . .., a«j .... Après chacune de ces opérations, le cercle Ga ne contient plus aucune masse. On a donc à l'intérieur de ce cercle

AWa, = o; or les fonctions

Wa„ W«„ ..., Wa„, ...

sont des fonctions harmoniques décroissantes, et ayant W pour limite. La série

Wai + (W«a - W«,) -H. . .+ ( Wa„- W«^,) +. . .

a donc tous ses termes positifs, sauf peut-être le premier. Tous ces termes sont harmoniques, et la série converge évidemment. Elle définit donc une fonction harmonique dans Ca, d'après le théorème de Harnack (Chap. II, § 6) ; or la limite de la série étant W, il en résulte que cette fonction est harmonique dans Ca et, par suite, dans toute l'aire S.

Si l'on forme alors la fonction

on aura une fonction harmonique dans S et prenant la valeur U sur le contour s. Le problème de Dirichlet est donc résolu.

Dans la méthode précédente, on part d'une fonction quelconque W0, assujettie seulement à prendre les valeurs données sur le contour. Nous avons dû faire quelques restrictions sur cette fonction ; nous allons les lever dans un moment. Mais on voit dès maintenant combien la méthode de M. Poincaré est originale. Tandis que, dans la méthode de Neumann et de Schwarz, on part toujours d'une fonction harmonique, et que les approximations successives, qui doivent faire approcher de plus en plus de la fonction cherchée, sont toujours des fonctions harmoniques, il en est tout autrement chez M. Poincaré. Ici, on part d'une fonction quel-

SOLUTION DU PROBLEME DE DJRÏCHLET. IOI

conque, prenant les valeurs données sur le contour, et l'on forme une succession de fonctions qui ne sont pas harmoniques dans toute l'aire S; c'est seulement leur limite qui donne une fonction harmonique dans cette aire tout entière.

13. On a supposé, dans la démonstration précédente, que AV0 conserverait un signe constant. S'il en était autrement , on pourrait toujours partager T en deux régions Tf et T2, la première con-

tenant tous les points pour lesquels est positif, la deuxième

tous ceux pour lesquels la même quantité est négative. Définissons alors des fonctions p(, et p2 par les conditions suivantes :

pi = p dans Tt, pj = o dans T2, p2 = o dans T1? p2 = — p dans T2

Ces deux fonctions sont continues dans toute l'étendue de T, et elles sont positives ou nulles. De plus, on a

P = pi — pj.

Considérons alors deux systèmes de masses ayant des densités pi et p2 ; elles engendreront deux potentiels WJ et WJ, qui, dans toute l'étendue de T, donneront lieu aux relations

Donc

et, par suite., On a donc

0 étanl harmonique dans T et complètement connu. Les raisonnements précédents s'appliquenl aui deux fonctions WJ h \\ ,,. Elles engendrent respectivement <.Vux fonctions W1 et W2 harmoniques dans S et prenantsur !<■ contour Les mêmes valeurs (ju'* W et WJ. La fonction W1 — Wa — 0 résout donc 1<- problème.

I i. La méthode qu'on vient de lire suppose qu'on a déterminé fonction V0 (#, y), continue dans T, ainsi que ses dérivées

-aie = pl'

4Wj|

Mws-wj)

- pi pa —

À(WJ-W|

WJ-W2-

partielles de trois premiers ordres, et prenant sur la courbe s la succession continue donnée des valeurs représentée par U. On pourra évidemment, pour une infinité de fonctions U sur s, trouver une fonction V0(#, y) satisfaisant aux conditions requises. Toutefois, certaines conditions seront nécessaires : ainsi U devra sur le contour admettre aussi des dérivées des trois premiers ordres. Si donc on ne veut faire sur U d'autres hypothèses que la continuité, il est indispensable de compléter la méthode.

15. Examinons donc le cas général où la succession donnée des valeurs U sur s satisfait à l'unique condition d'être continue. M. Paraf a montré de la manière suivante que ce cas général pouvait être ramené au cas particulier que nous venons de traiter.

On peut toujours, et d'une infinité de manières, construire une

fonction ty (#, y), continue dans la région T et prenant sur s les

valeurs données U. Ceci fait, nous allons construire une infinité

de polynômes