FI? F2, ..., F

croissant et tendant uniformément vers ^ dans la région T.

Appelons

Ui, U2, . . . , Uw, . . . ,

les valeurs de ces polynômes sur s ; ces fonctions \Jn sont croissantes et tendent uniformément vers U. Sachant résoudre maintenant le problème de Dirichlet pour chacune des valeurs

Ui, Uj, . . . , U„, . . . ,

données sur le contour, nous aurons une suite de fonctions harmoniques dans S

Vl, V2, ..., V», ....

Nous montrerons que ces fonctions VH tendent vers une limite V qui est la fonction eherchée.

16. D'après ce que nous avons démontré (t. 1, p. 38 1), on peut toujours trouver un polynôme F(x,y) qui représente, avec une erreur moindre qu'un nombre £ donné à l'avance, une fonction ty(z,y), arbitrairement définie dans une aire T et assujettie à la seule condition d'être continue.

SOLUTION DU PROBLÈME DE DIRICHLET. IOÎ

Soit <J>(#,JK) une telle fonction prenant sur s la succession de valeurs U ; nous pouvons la supposer positive ; car, dans la solution du problème de Dirichlet, on peut toujours ajouter une constante à U. Désignons par

Ai, X2, . . . , An,

une succession de nombres positifs croissants, tendant vers l'unité. On suppose que

conditions qui peuvent être réalisées d'une infinité de manières,

par exemple avec X/= i . •

Considérons enfin la suite des fonctions continues, positives, croissantes et tendant vers 6,

Xi <\>, Xa <J/, A„ ty,

En appelant m la limite inférieure de d» dans T, je construis le polynôme F/(#, y), qui représente \$ avec une erreur moindre

que - o;m. Ces polynômes F; forment une suite croissante, car

on a

F^-i > Xm-, ty — - 8/4-, m, ¥i < h ty -f- - 8,- m ; donc

F£+, — Ui > X/+i •{/ — X,- 0/ — i (St- -f- 8/+t) m

> ot m ( 8/ -t- 8/+1 ) m aa - m ( ôt- — ô/+1 ) > o,

et cette suite croissante tend uniformément vers <]>. Si donc on appelle L, la valeur de F,- sur s, les U; forment aussi une suite croissante tendant uniformément vers U.

Maintenant nous savons, au moyen de chaque fonction F», construire une fonction V, harmonique dans S et se réduisanl à U| sur s. Ces fonctions \ , forment une suite croissante, puisque la différence \Ml — V, prend sur s des valeurs positives; d'ailleurs \ i <>t toujours inférieur à la limite supérieure M de 'l, puisqu'il en est de même de Ut-.

Les fonctions V/.onl «loue une limite V; je dis que V est h» fonction < herchée. Considérons en effet La série convergente

Chaque terme de la série est harmonique dans S, et le terme général Yn — Va-f tend vers Un — Un-t quand le point mobile s'approche du contour. D'ailleurs la Série de ces valeurs sur le

contour' s

UI+(U2-U1)-b...4-(U„-U„1) + ...

converge uniformément vers U sur tout le contour; donc, d'après le théorème de Harnack, la fonction V est harmonique dans S et prend la valeur U sur s.

17. Nous terminerons ce Chapitre par l'examen du cas particulier dont nous avons eu besoin au paragraphe 11 , où le contour se compose de deux cercles concentriques.

Soient donc C etC les deux cercles, R et R/ leurs rayons, retcp les coordonnées polaires d'un point de la couronne

Nous voulons trouver une fonction /(r, cp), harmonique dans la couronne (S), se réduisant à des fonctions données U(ce) sur (C), V(cp) sur (C), quand le point (/*, cp) tend vers C ou vers C par un chemin quelconque.

Nous supposerons seulement que ces deux fonctions de es sont à variation bornée, et forment sur le contour une suite continue. Nous pouvons donc poser

V(<p)=a'0 + 2v,„(cf),

où \Jm et Vm désignent, par abréviation,

et ces deux séries sont uniformément convergentes sur les contours respectifs (C) et (C;) (t. I, p. 282).

Supposons d'abord que les valeurs de U et V données sur les contours C et C se réduisent respectivement à 1 et o, ou à o et 1 .