SOLUTION DU PROBLÈME DE DIRICHLET

La solution est immédiate : ce sont les fonctions harmoniques

lo^ —

Soit, en second lieu, cosmco et o, ou o et cosmo les valeurs de U et V donuées sur les contours C et G'. Les solutions apparaissent encore d'elles-mêmes. Ce sont les fonctions harmoniques

— -——-cosmo et ——7 cos w 4.

r) -\ïï) \k) ~{w)

En remplaçant cos wj par sin/rccs, on a les solutions correspondant aux valeurs o et sinmz> sur les contours.

Cela posé, la solution générale va s'obtenir bien facilement. Posons, d'une part,

** çr-ar, , ,

"0 = 7'° R7' U,n =: /n'\« TR-TTn U'"(

Vit; "Vh7/

et, d'autre part,

,0gR [h) ~(fJ

on obtient ainsi deux suites de fonctions harmoniques dans la couronne (S)

U0} U\} U-2, .... U,n-> • • • , P«, Pi, Pi, Pm,

Sur le contour C, la série des valeurs que prennent ces deux suites m, ni respectivement U(<p) et o; et, sut le contour C, o el V(?).

Donc, en appliquant le théorème de M. lïarnack (Chap.II, §6 < li. u une des deui ^<ries

u(r, «p) = Ug + H,+ f/2 -+-. . .-h un 4-. . . ,