I. — Théorème fondamental de Cauchy; démonstration
de M. Goursat.
1. Nous avons, au Chapitre I, établi les théorèmes fondamentaux de la théorie des fonctions analytiques, en les déduisant des propriétés générales des fonctions harmoniques. Nous allons reprendre d'une autre manière les démonstrations, en insistant sur les hypothèses qu'il est nécessaire de faire. Pour établir que l'inté-
grale
f(z)dz
prise le long d'un contour est nulle, nous avons supposé que la fonction J\ z) était bien déterminée et continue, et qu'elle avait en chaque point une dérivée bien déterminée et aussi continue. On s'est longtemps demandé si l'hypothèse relative à la continuité de la dérivée était nécessaire pour établir le théorème fondamental de Cauchji On doit à M. Goursat d'avoir montré qu'on pouvait }>i ndre pour point de départ de la théorie des fonctions analytiques la seule hypothèse de /'existence de la déri- . sans supposer la continuité' de la dérivée. Nous allonreproduire la démonstration du savanl géomètre (*).
(') B. Goursat, Acta mai/iematica, tome i\. et Trantactioiu of the lm#i Society
108 CEIAPITRE V.
2. Désignant par f(z) notre fonction continue et bien déterminée, nous allons définir d'abord une expression qui facilitera le langage. Soient A une portion du plan limitée par un contour fermé G, etf(z) une fonction continue et admettant une dérivée pour chaque point de l'aire A et du contour G ; soit, d'autre part, £ un nombre positif. Nous disons que le contour C satisfait à la condition (a) relativement au nombre e, s'il est possible de trouver à l'intérieur ou sur le contour |G un point fixe z' tel que
l'on ait
lorsque z décrit le contour C.
Etablissons alors le lemme préliminaire suivant :
Soient f '(z) une fonction continue et admettant une dérivée pour tous les points d'une aire A limitée par un contour fermé G et de ce contour lui-même, et z un nombre positif arbitraire. On peut toujours décomposer Vaire A en parties assez petites pour que le contour de chacune de ces portions satisfasse à la condition (a) relativement au nombre e.
Pour fixer les idées, supposons que l'on décompose l'aire A en parties plus petites par deux séries de droites parallèles à l'axe réel, d'une part, à la perpendiculaire, d'autre part, la distance de deux parallèles voisines étant constante. Admettons que la décomposition de l'aire A en parties plus petites satisfaisant à la condition (a) ne soit pas possible, il y aura au moins une des aires partielles At qui n'y satisfera pas non plus. En subdivisant cette aire A, par le même procédé, on en déduira une aire plus petite A2, et ainsi de suite. Le procédé pouvant se continuer indéfiniment, on a une suite d'aires
dont chacune est comprise dans la "précédente, et dont les deux dimensions tendent vers zéro, lorsque n augmente indéfiniment. Il j a donc un point limite z0 intérieur à A ou situé sur le contour G. Puisque par hypothèse, la fonction f (z) admet une dérivée f'(z0) pour z = z0, on peut trouver un nombre r,, tel que l'on ait
l/C*) -/Oo) - (i - *Q)f'(z0) \<\M ~ZQ | 8f
pourvu que
Soit c le cercle de rayon t\ décrit du point z0 comme centre. A partir d'une valeur de n assez grande, l'aire Au sera intérieur au cercle c, et l'on aura pour tous les points du contour de l'aire A„
D'ailleurs il est clair que le point z0 est à l'intérieur de A» ou sur le contour; cette aire devrait donc satisfaire à la condition (a) relativement à e. Nous sommes, par conséquent, conduit à une contradiction en admettant que le lemme n'est pas exact.
3. Ce lemme établi, abordons la démonstration du théorème de Cauchy. Nous partons de ce fait immédiat que, le long d'un contour fermé C, les deux intégrales ( * )
/ dz et / z dz
sont nulles. Étant donné alors un nombre e, nous partageons, conformément au lemme, l'aire limitée par le contour C en aires partielles répondant à la condition (a) pour le nombre e. Ces aires partielles sont de deux sortes : les unes sont des carrés, les autres sont terminées en partie par des lignes droites, en partie par des arcs du contour G.
(') La chose e«t évidente pour la première intégrale, d'après la définition même de l'intégrale définie. Pour la seconde, rappelon6-nous seulement que l'intégrale
de a en b le long d'un arc T est la limite, soit de la somme
f( a ) (z, — a) -+-/( z2)(zi — zl)+...-h(b — ztl)f{ zn ), soil de la somme
f(zl)(zl — a)-hf(z2)(z2- zl)-h...+f(b)(b — z„),
quand s,, z, zn étant sur l'arc r, l<'s intervalles az{} ..., c ;,,,, ...; z„b
ten lenl tous vers zéro, n augmentant indéfiniment* <»r
*i\&l -M zi) — ~i f-i — tf — Zt+\(zt+\ — */ >•
z <lz — b2 -
I / z dz
Considérons d'abord un carré, on aura le lon<r du contour /(*)-/«) = (-»-Ç)/(0-Mi(i-C),
| ri | étant moindre que s, et Ç étant le point correspondant au lemme. Donc, le long du périmètre du carré.
jf{z) dz = [/(O - IfXtnfdÀ +f(l)jzdz +.Jrï(z-Qdz.
Les deux premières intégrales sont nulles ; quant à la dernière, son module est moindre que
en désignant par / le côté du carré.
Pour la partie irrégulière, en désignant par À l'arc de C compris dans le carré, le module de l'intégrale
ri(z — O dz est moindre, comme on le voit de suite, que
On a [donc, en faisant la somme de toutes les intégrales le long des diverses aires partielles, comme valeur de l'intégrale cherchée, une expression dont le module est moindre que
dans cette expression, A désigne N l1 pour les différents carrés,
c'est-à-dire la somme des aires de ces carrés, il est donc moindre qu'un nombre fixe et est d'autant plus rapproché de l'aire limitée par G que les carrés ont un côté plus petit; quant k S, c'est le périmètre de C. Or s a été pris aussi petit que l'on veut; il en résulte que
f(z)dz = o,
c'est le théorème fondamental de Gauchy.
II. — Théorèmes généraux de Cauchy sur les fonctions d'une variable complexe.
i. Soit /(x) une fonction analytique uniforme et continue à l'intérieur de l'aire limitée par un contour C (formé d'une ou de plusieurs courbes distinctes) ('); nous allons montrer que Von a
J V ' 2TZlJr Z—X
l'intégrale étant prise le long d'un contour C dans le sens positif, x désignant un point quelconque de l'intérieur de l'aire. Pour démontrer cette formule, décrivons de x comme centre un cercle y, de rayon o, intérieur à l'aire. La fonction
esl continue dans l'aire intérieure à G et extérieure à y : on a donc
le sens d'intégration étant positif sur y comme sur C. La seconde intégrale ne dépend pas du rayon p; prenons ce rayon p assez petit pour que l'on ait, z étant sur y,
|r, | étant moindre qu'une quantité positive s, donnée à L'avance, aussi petite que l'on voudra. On aura
L z - x J^'—x JY ~
ï] <lz
or, dans le second membre, nous avons d'abord L'intégrale
flifld;=/(j:[f-^.
J^Z — X J Jy *m
C) Nous .'tppellerons souvent fonction holomorpht d.ms uucjiirr une tond ion analytique uniforme el continue <hnis cette aire.
Si l'on pose
on a
trcpie^dB
La première partie du second membre est donc 2Tzif(%); d'autre part,
r r]dz = / Jw z — x 7
le module de cette dernière intégrale est donc moindre que ara. mais elle est indépendante de p, puisqu'elle est la différence de deux expressions qui ne dépendent pas de cette grandeur; la seconde partie du second membre est donc rigoureusement nulle, et Con a par suite la formule fondamentale
J inij z — x
dz.
5. 11 n'est pas sans intérêt de remarquer que cette formule n'est autre chose qu'une forme particulière de la formule fondamentale de Green
dV
d\ogr
^•^àA'^^-^^r
démontrée au Chapitre I (§ 10). Il est facile de s'en assurer. Dési-
Fig. i5.
gnons le point x par z\ pour éviter toute confusion, et posons
f(z) = u 4- iv, u et v étant deux fonctions harmoniques qui satisfont aux équa-
FONCTIONS D'UNE VARIABLE COMPLEXE. Il3
lions
du dv du dv
ôx dy dy dx
On vérifie sans peine que, pour tout point du contour C, en
désignant par s l'arc de courbe, les relations précédentes prennent
la forme
du dv du dv
ds du du ds
Exprimons les deux fonctions u et r au moyen de la formule (2), et ajoutons les résultats après avoir multiplié la seconde par 1; on obtient
*t >s T C\\ d(u-hiv) . rflogrl
ou, en vertu des relations (3), . 1 /*[* . d(u-hiv) . .dlogrl
1 /" l rf r. ... . . . . r d\o™r .d\ogr~] ) ,
Cette intégrale se réduit donc à
'<3 > = iïïîjc (" + lv) [-3T- - l-dir) *•
Désignons par a et cp les angles que l'élément ds fait respectivement avec l'axe des x et la direction z z\ on trouve de suite les relations
dz = ds.e*1, -7- = cos9, -r- — sincp, z — z = re*-?1
ds T du T
et l'on en déduit, en substituant dans (4), la formule fondamentale de Cauchy :
8. Les expressions ries dérivées successives de f(x) résultent immédiatement <le la formule 1 1 ). En donnant à .r L'accroissement
R D. — ir.
I l4 CHAPITRE V.
A# on aura
f(x + ^x)-f{x) = -J-. />(*) (- -ï— £- - -i-) rf*
Divisons par A#, et remarquons que
z — x — Aa? z — x
kx
est, pour Aa? = o, égale à la dérivée de par rapport à x,
c'est-à-dire -■> ce rapport tendant d'ailleurs uniformément
(z — x)2 rl
vers cette limite quand z décrit le contour C. Il en résulte
et d'une manière générale, en continuant de la même manière, (5) /!-»(*) = l^~^ f \ f{Z\ \ dz.
Il n'est pas sans intérêt de remarquer que l'établissement de la formule (i) suppose seulement que la fonction analytique f(z) ait une dérivée du premier ordre, c'est-à-dire qu'en posant
P et Q ont des dérivées continues et bien déterminées du premier ordre, satisfaisant d'ailleurs aux deux relations tant de fois écrites. La formule générale (5) montre que f(z) a des dérivées de tout ordre; ainsi l'existence de la dérivée première, pour une fonction analytique, entraîne V existence des dérivées de tout ordre.
7. Une conséquence de la formule (5) nous sera plus tard très utile. Supposons que la courbe G se réduise à un cercle de rayon R ayant l'origine pour centre, et que x = o : on aura, en posant s = ReeS
/(»>(o) = ' •?•••* / /(RC8i)c-«e/rfe.
Soit M le module maximum de f(x) sur le cercle, il vient
Nous en concluons facilement qu'on peut construire une fonction uniforme et continue à l'intérieur du cercle de rayon R ayant pour centre l'origine, dont toutes les dérivées soient positives pour z = o et égales, pour chaque valeur de n, à la limite que nous venons de trouver pour |/(w,(o) |. Il suffit, en effet, de prendre la fonction
qui est bien telle que
8. De la formule fondamentale (i), Cauchy a déduit le développement d'une fonction uniforme et continue à l'intérieur d'un cercle en série de Maclaurin. Soit un cercle C de rayon R, ayant l'origine pour centre; on a, x étant à l'intérieur de ce cercle,
or on ;« L'identité
et, par suite,
21tlJc *n+x >-(J(. z — x\z)
Ou voit quey(a I est représenté par un poljnome de degré //,
augmenté d'un terme complémentaire. Si doue celui-ci tend vers
i pour n Infini, qous aurons un développement de /<./■> en
série entière, c'est-à-dire en série ordonnée suivant les puissances
et croissantes de la variable x. Or, lorsque : dé-
I l6 CHAPITRE V.
f(z) crit le cercle G, a un module qui ne dépasse pas une certaine
limite M; si donc on pose
/' = i x on aura
Par conséquent le module du terme complémentaire sera moindre c-ue le produit de M ( p ) Par la longueur de l'arc d'intégration, c'est-à-dire que
[ - j 2ttR ou 2i:rM -
expression qui tend bien vers zéro puisque /• <^ R. On a donc la
série
Ce développement n'est d'ailleurs autre chose que la série de Maclaurin, puisque, d'après la formule (5),
J V ' ITZl Jc Z"+l
Le théorème que nous venons d'établir joue dans la théorie des fonctions un rôle capital. Nous l'avions déjà établi (Ghap. II, § 13), en développant séparément la partie réelle et la partie imaginaire de f(oc). Les deux méthodes ne sont d'ailleurs distinctes qu'en apparence; dans les deux cas, on fait au fond usage de la même formule, puisque la formule fondamentale de Gauchj n'est qu'une forme de la formule de Green, comme nous venons de le voir (§ 5).
9. Nous dirons quelquefois, pour abréger, qu'un point est, pour une fonction, un point ordinaire si l'on peut, dans le voisinage de ce point, développer la fonction par la formule de Tajlor, ou encore si elle est holomorplie dans le voisinage de ce point.
Si tous les points de l'intérieur d'une aire A et de son périmètre sont des points ordinaires pour une fonction, on pourra pour cha-
cun deux, d'après la définition précédente, trouver une quantité p telle que la fonction soit développable dans un cercle de rayon p autour de ce point. Il est clair que, pour l'ensemble de ces points, p aura un minimum différent de zéro. Nous allons établir qu'une fonction satisfaisant aux conditions précédentes, à l'intérieur et sur le périmètre d'une aire A, ne peut avoir dans cette région qu'un nombre limité de racines.
Faisons d'abord la remarque suivante : une série /(<s), ordonnée suivant les puissances croissantes de z — a et s'annulant pour z = a, ne s'annule pour aucun autre point à l'intérieur d'un cercle de centre a et d'un rayon p' suffisamment petit. On a, en effet, f(z) s'annulant pour z = a, une puissance entière et finie de (z — a) en facteur, et, par suite,
/(*) = (* — a)'«[A0+Ai(* — a)-t-...J,
A0 n'étant pas nul. Si donc \z — a\ est inférieur à un nombre p' suffisamment petit, la quantité entre parenthèses sera différente de zéro.
Pour toutes les racines, ce rayon p' est différent de zéro; il a donc un minimum qui n'est pas nul. Ceci suffit à établir que les racines sont en nombre limité dans la région indiquée.
10. L'analyse de Cauchy a été généralisée en i843 par le commandant Laurent, qui a considéré une fonction /(.r) holomorphe entre deux circonférences concentriques C et G'. Supposons que l'origine soit le centre commun et désignons par R et R' les rayons de C et C'(R>R). L'application de la formule fondamentale donne
f(X)=-L. flilLat-J-r/ili,,,.
•?.r.ij(.z — x iT.iJ^z — x
Nous prenons la seconde Intégrale avec le signe moins, par< e que nous l;i prenons dans le même sens géométrique que la première.
Développons en série chacune des deux intégrales; pour la première, nous n'avons qu'à appliquer ce que nous avons dil au paragraphe précédent. Mais la seconde donne naissance à un développement en série d'une forme différente. En effet, puisque
I 1 8 CHAPITIIE V.
sur la circonférence G' le module de z est inférieur à celui de x,
nous partirons de l'identité
tz \"+1 I \ z zn \x
Z — X x x2 xtl^x Z — X
Nous avons donc
On montrera, comme précédemment, que le terme complémentaire tend vers zéro quand n augmente indéfiniment; la seconde intégrale est donc développée en une série entière par rapport
à — • 11 en résulte que la fonction f(x) se trouve développée en
Ou
une somme de deux séries ordonnées , la première par rapport aux puissances croissantes et entières de x} la seconde par
rapport aux puissances croissantes de -•
La première de ees séries est convergente pour tout point intérieur au cercle C, la seconde série converge pour tout point extérieur au cercle G'. L'ensemble des deux séries sera convergent dans la couronne comprise entre les deux circonférences.
Il pourra arriver que la seconde circonférence ait un rayon nul, on aura alors un développement de la fonction valable pour tous les points du cercle G, à l'exception de l'origine. Ainsi, si l'on a une fonction f(z), uniforme à l'intérieur d'un cercle C ayant l'origine pour centre, et continue pour tous les points de ce cercle, sauf pour le centre, on peut développer f(z) en série de forme
f(z) = ^ Bpzp+ 2 Apzp.
11. Les développements précédents permettent d'établir facilement quelques résultats généraux relatifs aux fonctions uniformes. Considérons une fonction f(z), uniforme et continue dans tout le plan de la variable z\ on suppose de plus que son module reste
FONCTIONS D'UNE VARIABLE COMPLEXE. I l{)
toujours inférieur à une quantité fixe M, quelque grand que soit-3. Nous allons montrer, avec Liouville, que la fonction doit se réduire nécessairement à une constante. Nous pouvons en effet développer J \z) en série entière
/(*) = Àa-f- Àt* H-. . .-+- Am s'" -h. . . ,
et cette série sera convergente à l'intérieur d'un cercle C, ayant l'origine pour centre et un rayon arbitraire R. Or on a (§ 8)
A„,= : / -az,
et, puisque sur le cercle
on a (§7)
Or R est aussi grand qu'on voudra, par suite la quantité fixe Am est rigoureusement nulle (sauf pour /?z = o), et la Jonction f(z) se réduit à la constante A0.
Nous avions déjà rencontré ce théorème de Liouville, car il n'est pas distinct du théorème établi (Ghap. I, § 12) et relatif aux fonctions harmoniques. Nous avons vu, en effet, que si une telle fonction, bien déterminée et continue pour toute valeur de x et y, restait toujours moindre en valeur absolue qu'une quantité fixe, elle devait nécessairement se réduire à une constante. Or, en posant ici
on aura, évidemment, si |/(^)| <C M, les deux inégalités
I P | < M, | Q |< M, et, par suite, I* et Q seront des constantes.
