III. — Pôles et points singuliers essentiels d'une fonction

uniforme.

13. Nous avons jusqu'ici supposé que la fonction f{z) était holomorphe dans la région considérée. Soit dans cette région un point a, pour lequel la fonction cesse d'être continue; on suppose que si de a comme centre on décrit un cercle G d'un rayon assez petit, la fonction f(z) est uniforme dans ce cercle et continue pour tous les points, sauf le point a. Dans ces conditions nous avons (§ 10) le développement

p = — 1 p=oo

/0)= 2 Bp(z — a)P+ 2 kP(z— a)P.

Si les termes Bp sont en nombre limité, on dira que le point a est un pôle. On aura donc, dans ce cas,

(6) /(*)= —^—~ +...-+- -5i-+- V Ap(z — a)P,

v ' JX ' (z — a)"1 z — a j-J PK '

ce développement étant valable pour les points d'un cercle d'un rayon suffisamment petit décrit autour du point a. On aurait pu prendre la possibilité de ce développement comme définition du pôle. Le pôle a est dit un pôle d'ordre m, si — m est la plus petite puissance de z — a qui figure dans le développement. On

voit que le produit

f(z)(z-ayn

est uniforme et continu dans le voisinage de z = a, et prend pour z = a une valeur finie et différente de zéro.

D'après la définition même du pôle, il est clair que, si une fonction uniforme n'a, dans l'intérieur d'une aire et sur son contour, d'autres points singuliers que des pôles, ceux-ci sont en nombre fini. On doit pouvoir, en effet, autour de chaque point de ce domaine, tracer un cercle de rayon déterminé et différent de zéro, à l'intérieur duquel la fonction sera développable soit par la formule de Tajlor, soit par la formule (6).

14. Parmi les coefficients B, il en est un particulièrement important : c'est le coefficient B, que Cauchy a appelé résidu de la fonction relatif au pôle a. L'importance de ce coefficient va apparaître dans la recherche de l'intégrale

(7) [f{*)dz,

prise le long d'un contour simple entourant le pôle a. Nous pouvons substituer au contour G une circonférence Y ayant son centre en a et un rayon assez petit pour que la fonction puisse être dans ce cercle représentée par l'expression (6). On aura alors

ff(z)dz = hm f dz vnf...4-B, f-ÊL-.

Jr Jv(z — a)'n Jrz — a

Or on a

dz

rr(z — a)>

comme on le voit de suite, en posant

Z == a -4- p e(ii

et faisant l'intégration de 9 — o à 0 — 2-. On a de même

dz

\(z — a) Nous ;i\<»ns donc

f(z) dz = -i~i .15,.

Si l'on suppose d'une manière plus générale que le contour simple G entoure un nombre quelconque de pôles a, 6, ...,/, on aura, en ajoutant les résultats partiels dus à chaque pôle,

Jf{z)dz = 1T.i^àR,

/^ désignant la somme des résidus relatifs aux différents pôle9

situés à l'intérieur de C.

Nous pouvons donc énoncer le théorème fondamental suivant, dont Gauchj a fait d'innombrables applications :

L'intégrale dune fonction uniforme prise le long oVun contour simple est égale au produit de itz i par la somme des résidus de la fonction relatifs aux pôles situés à l intérieur du contour.

15. Les fonctions uniformes peuvent présenter d'autres points singuliers que les pôles. Nous dirons d'une manière générale qu'un point O qui n'est pour une fonction uniforme f(z) ni un pôle, ni un point ordinaire, est un point singulier essentiel isolé pour cette fonction, si, à l'intérieur d'un cercle ayant O pour centre, la fonction est uniforme, et si, en dehors de O, elle ne possède

dans ce cercle d'autres points singuliers que des pôles.

Ainsi, par exemple, la fonction ez a au point z = o un point singulier essentiel isolé. Ce point n'est en effet pour la fonction ni un pôle, ni un point ordinaire. L'étude de cette fonction si simple va nous montrer de suite l'indétermination d'une fonction dans le voisinage d'un point singulier essentiel. Considérons en

effet l'équation

ez = A,

A étant une constante quelconque différente de zéro. Il est facile d'avoir ses racines. Soit en effet

A = Rea' et

on aura

ep+qi= Ré*'.

Le module du premier membre est égal à eP et son argument

à q ; on a donc

eP= R ou p = logR,

ce logarithme étant le logarithme arithmétique, et

q = a -+- 2 /ci: ; donc

logR -+- (a -+- nkr.)i

k étant un entier arbitraire positif ou négatif.

Quand /r augmente indéfiniment, ces valeurs de z tendent vers zéro. On en conclut que l'équation

a une infinité de racines dans le voisinage de z =o, c'est-à-dire que, quelque petit que soit le rayon d'un cercle décrit de V origine comme centre, ily aura toujours une infinité de racines de cette équation contenues à V intérieur de ce cercle. Cet exemple montre combien est profonde l'indétermination d'une fonction dans le voisinage d'un point singulier essentiel.

i6. C'est M. Weierstrass qui a fait le premier, d'une manière systématique, l'étude des points singuliers essentiels (' ). L'illustre auteur a montré que, dans le voisinage d'un point essentiel, la fonction f(z) s'approche autant qu'on veut de toute valeur donnée, c'est-à-dire que, étant donnés un nombre e aussi petit qu'on voudra et un nombre quelconque A, il y aura toujours, à l'intérieur d'un cercle ayant a pour centre et un rayon si petit qu'il soit, des points z où

M. Weierstrass déduit cette proposition de ses théorèmes ^nn;-

(') K. Weiehsthass, Mémoire sur les fonctions uniformes d'une variable (Mémoires de l'Académie de Berlin, 1876).

raux sur les fonctions uniformes. Nous en donnerons une démonstration différente (*).

Tout d'abord remarquons que, dans le voisinage d'un point singulier essentiel, la fonction peut admettre une infinité de pôles. Ainsi la fonction

i \ sin | -

a pour point singulier essentiel z = o, et elle admet les pôles en

nombre infini z = -, — (k entier).

/en x '

Pour établir le théorème général qui vient d'être énoncé, considérons la fonction

Deux cas pourront se présenter. La fonction (8) pourra avoir une infinité de pôles dans le voisinage du point singulier essentiel a; dans ce cas, l'équation

aura une infinité de racines dans le voisinage de a, et le théorème est alors évident : la fonction non seulement s'approche autant qu'on veut de A, mais lui devient rigoureusement égale.

En second lieu, la fonction (8) n'a pas une infinité de pôles dans le voisinage de a. On peut alors dans ce voisinage se servir de la formule de Laurent, et l'on a, dans l'intérieur d'un certain cercle C,

La première série sera convergente à l'intérieur du cercle G, la seconde est convergente dans tout le plan, sauf au point a. Or,

si l'on pose = a?, nous savons qu'on peut choisir x de mo-