La proposition précédente ne nous apprend rien sur les
racines de l'équation
dans le voisinage du point a. Bornons-nous à énoncer un théorème sur lequel nous reviendrons plus tard (') :
U équation précédente a en général une infinité de racines dans le voisinage de a. Il peut arriver cependant qu il ri1 en soit pas ainsi pour certaines valeurs exceptionnelles de la constante A, mais il ne peut exister plus de deux valeurs exceptionnelles.
Dans cet énoncé la valeur A = oo est à considérer comme une valeur que rien ne distingue des autres.
De ce théorème résulte une classification pour les points singuliers essentiels isolés d'une fonction uniforme f(z). On peut les partager en trois classes :
i° La fonction f(z) peut prendre sans exception toutes les valeurs que l'on voudra dans le voisinage de a; on peut dire que c'est le cas général.
2° Il peut y avoir une; valeur exceptionnelle que la fonction ne prendra pas dans le voisinage de a. Ainsi, par exemple, la fonction
i;i., Mémoire tur les fonctions entièi \nnn/rs de il U \ormale,
ne devient pas nulle dans le voisinage de z = o. Nous avons ici l'unique valeur exceptionnelle A = o.
3° Deux valeurs exceptionnelles peuvent enfin se rencontrer.
La fonction ez en offre un exemple; l'équation
ez = A
n'aura pas de racines dans le voisinage de l'origine si A = o et si
A = oo.
18. Nous avons toujours supposé jusqu'ici que le point, dans le voisinage duquel on faisait l'étude de la fonction, est à distance finie. Dans la théorie des fonctions d'une variable complexe, on considère les valeurs de z d'un module infiniment grand comme formant un point; on le désigne sous le nom de point à l'infini. Il suffit de poser
pour que le point à l'infini dans le plan des z soit ramené à l'origine dans le plan des z\
Les définitions et les théorèmes qui en résultent s'étendent donc sans difficulté au point à l'infini. Celui-ci, par exemple, sera un pôle pour la fonction f(z), si la fonction
admet comme pôle le point z'— o : on aura alors
G(z') étant holomorphe dans le voisinage de z' — o : donc
G(-j étant une série entière en -> convergente quand \z\ est suffisamment grand.
Si nous considérons en particulier un polynôme d'ordre m, nous pouvons le regarder comme une fonction de z ayant, pour
toute singularité, le pointa l'infini comme pôle d'ordre m. La réciproque est vraie, c'est-à-dire qu'une fonction uniforme dans tout le plan, ayant comme seule singularité le point à l'infini supposé pôle d'ordre m, se réduit à un polynôme de degré m. 11 est clair en effet, que dans ce cas,
reste, à partir d'une certaine valeur de | z |, inférieur à un nombre fixe ; par conséquent, d'après le théorème de Liouville généralisé (§ 12), la fonction entière/ (z) doit se réduire à un polynôme qui devra être nécessairement de degré 01, puisque le point à l'infini est un pôle d'ordre m.
Ce théorème peut se généraliser. Une fonction rationnelle est une fonction uniforme qui n'a dans tout le plan, y compris le point à l'infini, d'autres points singuliers que des pôles. La réciproque <'st exacte et se déduit de suite du théorème précédent. Soient en effet «, b, .., / les pôles de notre fonction f(z), à distance finie et de degrés de multiplicité a, {3. .., X. Formons le produit
il n'aura plus de pôle à distance finie, et le point à l'infini ne pourra être qu'un pôle ou qu'un point ordinaire. Ce produit est donc un polynôme ou une constante et il est bien établi que /(s) est une fraction rationnelle.
IV. — Fonctions analytiques élémentaires d'une variable complexe.
19. Nous ayons déjà, à propos d<- la théorie des séries entières (Chap. Il), défini les fonctions élémentaires cz , >\\\z et cos^, qui sont uniformes el continues dans tout 1<- plan. i\mis nous occuperons dans ce paragraphe des fonctions élémentaires <jui admettent des points singuliers et de celles qui ne sont pas uniformes.
20. Les fonctions tangj <'t cote sont définies par les quotients
ï^8 CHAPITRE V.
sin z cosz t r • •> ^ •
et -: — • .La fonction cos,s s annulant pour certaines valeurs
cosz sin z i
de s, tangs deviendra infini. Cherchons les racines de cos,s, on
devra avoir
ezi | e—zi— 0 OU
e2zi = — i ;
donc, en posant z — a -+- Jp,
e2t(a+/'p) es i#
Or, — i ayant l'unité pour module et son argument pouvant être pris égal à 71, on aura
2a = r. 4- 2/fTC.
Par conséquent, les racines z sont données par la formule
71 7 2 == \- ktz.
k étant un entier positif ou négatif. Ces points sont des pôles simples de tang£.
On verra de la même manière que les pôles de cots sont donnés par
Ainsi, tandis que les fonctions ez, sin^ et cos,z sont des fonctions entières, les fonctions tangs et cots, qui sont aussi uniformes dans tout le plan, ont un nombre infini de pôles.
Nous verrons dans le Chapitre suivant comment on peut les développer en séries de fractions rationnelles.
21. Nous n'avons considéré jusqu'ici que des fonctions uniformes, c'est-à-dire n'ayant qu'une valeur pour chaque valeur de z. Prenons maintenant l'expression
pour une valeur de z, un deux déterminations, mais on ne doit pas considérer ces deux déterminations comme représentant deux fonctions distinctes de z. En effet, partons d'une valeur z0 (z0 y^ a),
et soit u0 une des déterminations du radical yjz0 — a. Traçons
dans le plan de la variable c un chemin allant de z0 à un point zK et ne passant pas par a; suivons par continuité la valeur de «à partir de la détermination choisie u0 pour z = z0, c'est-à-dire prenons, pour z voisin de z0, la valeur de a voisine de u0 et ainsi de suite de proche en proche. Nous arrivons ainsi au point zs avec une valeur déterminée pour u. Deux chemins différents allant de z0 à 3, donneront, à l'arrivée en stl la même valeur pour w, si le point a n'est pas compris dans l'aire limitée par l'ensemble des deux chemins. En effet, en posant
z — a = o(cos 0 + i sin 0),
prenons pour u0 la détermination
\/z0 — a = y/p0 ( cos h i sin — )
et pour valeur générale de yz — a
J z — a = i/p ( cos -
i sin —
En faisant varier p et 9 dune manière continue depuis (o0, 90) correspondant à zQ, jusqu'à (p,, 9,) correspondant à zt , l'argument 9, est bien le même, que l'on ait suivi l'un ou l'autre chemin, si le point a <ist extérieur à l'aire limitée par les deux chemins. 11 en est autrement si l'on a deux chemins C et G' formant la limite d'une aire comprenant le point a(/ig. 16). Si l'on part de z0
Fig. 16.
avec l'argument ô0 pour z0 — «, el m 0, désigne encore l'argument obtenu en anïvanl <mi z{ par un chemin C, il est clair que le chemin C nous conduira <-n ^, avec L'argumenl 0, — 2-: nous trouverons donc. p;n !<■ chemin C, la valeur
Wi = y'pllcos h / -m j
l'I' sun. — 11.
l3o CHAPITRE V.
et par le chemin C
u\ = — /pi ( cos h i sin — ) •
Les deux déterminations de la fonction ne forment donc pas des fonctions distinctes. Ainsi, en particulier, si l'on part de z0 avec une certaine détermination, on reviendra en ce point avec l'autre détermination si l'on tourne une fois autour de l'origine.
Ces remarques sont bien simples; elles] n'en ont pas moins joué un rôle considérable dans la Scienée, en appelant Fattention sur les fonctions non uniformes. On a considéré longtemps les deux valeurs de
u = yz — a
comme formant deux fonctions distinctes de z) c'est qu'on ne s'attachait pas à l'idée de continuité pour définir au juste ce que l'on entendait par fonction. JNous venons de voir que c'est en suivant par continuité la succession des valeurs de u sur un chemin donné, que la valeur finale se déduit sans ambiguïté de la valeur initiale.
22. Un autre exemple de fonction non uniforme va nous être fourni par la fonction logarithmique. Cherchons les racines de
l'équation en u
z étant une quantité donnée; u est par définition le logarithme de z. En posant
u = X -h i Y, z — ;• (cos a 4- i sin a),
on a
e\ ei\ __ r eia. .
donc
r = ex, Y == a -h 2. A t.
et, par suite,
(9) 11 =s Logr-4--(«-+- Q.kit)i,
Logr désignant le logarithme arithmétique de r; k est un entier arbitraire. Ces valeurs en nombre infini sont les déterminations multiples de log£.
Si maintenant nous voulons considérer u comme fonction de z,
nous partirons d'un point z{) avec une de ces déterminations et nous suivrons par continuité, comme nous l'avons fait au paragraphe précédent. On voit ainsi que la fonction log:; reprend la même valeur quand z revient au point de départ sans avoir tourné autour de l'origine. Au contraire, si le chemin partant de z0 revient en ce point après avoir tourné une fois dans le sens direct autour de l'origine, a0 augmentera de 2 iz et, par suite, log .3 reprendra sa valeur initiale augmentée de 2 ni.
La fonction log^ a donc une infinité de déterminations qui peuvent s'échanger les unes dans les autres en tournant autour de l'origine qui est un point singulier.
Cette fonction a une dérivée qu'il est facile de calculer; on a
e" =1 z. eu+&" = z -h Iz
Donc
ou
eu lu ( 1 -i h . . . ) = A;
<l . par suite,
.. Am 1 1
"" AT "" eu ". ~z"
Ainsi
du 1
dz z
Il en résulte que logz est bien une fonction analytique de c. On aurait pu le voir en partant de l'expression (9) et remarquant que Logr el x-f-2 /. - satisfont bien aux relations fondamentales
du <)v <h< dv
ôx ôy ()y dx
"l'.\. Considérons maintenant la fonction Log(i -f-s). Elle admet comme point critique le point x= — 1 . Soit (C) | fi g. 17) le cercle quia pour centre L'origine el qui passe parce point singulier A. \ l'intérieur de (C), l'une quelconque des déterminations multiples de l,i fonction log( 1 4- -3) est uniforme et continue. Si l'on choisit celle qui s'annule avec c, «m reconnaît facilement que sa détermination est LogAP-f-ï'a, 2 désignant L'angle des deux dii 1 ions \ / ei \ P.
D'après le théorème de Cauchy, cette détermination est développable en série entière relativement à z\ pour tous les points intérieurs à C et l'on obtient
los(i-hz) = h...-+(— i)"+1 —
Nous avons déjà étudié ce développement (Chap. II, § 22). Nous avons vu qu'il coïncide avec celui que l'on obtient pour z réel.
Cette série est convergente en tous les points de C, sauf au point A; elle représente donc log(i -\- z) pour tous ces points, et peut être prolongée analjtiquement dans tout le plan. En allant du point P à un point P' extérieur par deux chemins différents, on obtiendra pourlog(i -\-z) la même valeur, pourvu que ces chemins ne contiennent pas dans leur intérieur le point A.
Soit M(i, G) un point du cercle de convergence
z = cos 8 + i sin
et
log(H-s) =
IOg(l + 2) = 10g( 1 COS - I -f- l -
cos6 H- jfsinô (cos 6 h- i sin 6)!
ce développement étant valable pour toutes les valeurs de 9, sauf 8 = z±i7t. On en conclut les deux développements
. / e\ cosô
cos^6 cos38
et
sin
sin 2
sin 3 6
Nous avons vu plus haut que la fonction u == logs a pour dérivée -; elle peut donc être représentée par l'intégrale curviligne
' dz
le chemin qui va de z0 à z étant donné. Si l'on va du point A(*0) au point B(j) (fig. 18) par deux chemins qui ne comprennent
Fis- x8.
pas l'origine, le résultat sera le même. Mais si l'on va de A en B par deux chemins qui comprennent l'origine, tels que AMB et
AM'B, on aura
