AM'II * • AM A '-AMB

Or, la première intégrale est égale à 2 îtz : donc on a, en désignant par u la seconde détermination de u,

Si le contour AM'B faisait k fois le tour de O, on aurait

//' = u -h iki-.

Nous Retrouvons bien de la sorte les déterminations en nombre infini de la fonction logz.

2i. La définition d<- la fonction zm se déduit de celle de logs,

qui donne un sens à z"', quel que soit m. On voit que la fonc tion z'" a comme point critique !<• point z = 0, et, quand z tourne

autour de l'origine, la fonction se reproduit multipliée par e2"1™, puisque log.3 s'augmente de irù.

Considérons en particulier la fonction (ï -\-z)'n. Elle est développable en série convergente en tout point intérieur au cercle qui a pour centre l'origine et qui passe par le point singulier z = — ï. Considérons celle des déterminations de (\-\-z)m qui devient égale à ï pour z = o. Elle sera, d'après le théorème de Cauchy, représentée par la série

que nous avons déjà étudiée précédemment (Chap. II, §23). De sorte que cette série, qui représente (ï + z)m lorsque 3 est réel, le représente encore quand z est imaginaire et de module inférieur à un. Sur la circonférence de convergence nous savons que le développement est ou n'est pas convergent suivant la valeur de m.

2o. Le développement de l'irrationnelle

•2 (XX ■+- OLz

suivant les puissances de a se rattache à la question précédente. Bornons-nous au cas où x est réel. Cette irrationnelle est une fonction algébrique de a qui a deux déterminations. Choisissons celle qui, pour a — o, est égale à -f-i. Le rayon du cercle de convergence de son développement suivant les puissances entières de a est évidemment égal au module de la racine du polynôme ï — 2 ace -(-a2 qui est la plus voisine de l'origine.

Si | x | << ï , les deux racines oc zb z y/i — x'1 sont imaginaires et leur module, indépendant de .r, est égal à un. Le rayon du cercle de convergence est donc aussi égal à un quel que soit \x\. Si x | ^> ï , les deux racines sont réelles et le rayon du cercle de convergence variable avec \x\. Dans les deux cas, on aura, pour tout point A pris à l'intérieur de ce cercle, un développement convergent de la forme

yi — iolx -h a2

FONCTIONS DUNE VARIABLE COMPLEXE. l35

Les coefficients \n sont connus sous le nom de polynômes de Le gendre ; \n est de degré n en x.

Cherchons d'abord une relation de récurrence qui existe entre trois coefficients X„ successifs. En posant

sH=

on déduit, en dérivant par rapport à a,

dy

(in — (i — 2ar -h a2) = y(x — a).

Prenons la dérivée /iième par rapport à a des deux membres de cette égalité. En appliquant la formule bien connue qui donne la dérivée d'un produit de deux facteurs, et en faisant a = o, on

obtient

/ dn+i v\ , , I ' àny\ / dn~l y \

(- £) — {in -4- i)x (~ ^ -t^W T-) =o.

D'ailleurs, on a

et finalement la formule de récurrence cherchée est (12) (»-f-i)Xn+1 — (2 71 -h 1) a? X» -h rc\„! = 0.

On en déduit que X„ est un polynôme de degré n en x : les deux

premiers sont

Pour x = -f- 1, ou a K* = 1. Pour a; = — 1 , on a X71 = zh i, suivant que n est p;iir ou impair.

Ces polynômes jouissent de toutes les propriétés des fonctions de Stnrm. comme ou le reconnaît immédiatement. Pour X = — 1 , la suite des polynômes \(). \,, ..., \„ présente manifestement n variations, l'our i= + i, elle n'en a plus; donc, ./: croissant <le -i à -t- 1 , la suite .1 perdu n variations \ donc Xw a passé au moins par n racines; el comme ce polynôme est de degré n, ses // racines sonl comprises entre — 1 et H-i.

Pour établir maintenant L'identité, à un facteur près, des polj nomes X.n avec les polynômes que nous avons déjà étudiés (t. I.

l3G CHAPITRE V.

p. 34), il suffira de démontrer que l'intégrale

/ f(x)Xndx

est nulle lorsque J (x) est un polynôme arbitraire de degré au plus égal à n — 1. Nous nous servirons à cet effet d'une seconde relation obtenue en dérivant par rapport à x les deux membres

de (10). On a

et, en comparant avec (11),

/ \^Z — ty m dx ôay

d'où la relation cherchée

(i3) xX'n-X>n{ = nXn.

♦ Multipliant les deux membres par xm dx et intégrant de — 1 à+i,

il vient

n x"lXlldx = / xm+l X'fi dx — / xmX'n tdx,

d'où, en intégrant par partie,

nC

x»lXndx = [x»l{xXn — X„-.,)]±|

x'nXn dx -4- m I xm-lXn-idx.

Or (#Xn — X./|< ) est nul pour les limites +1 et — 1 : donc finalement

(M) / x»*Xndx= / xm-iXn-tdx.

J t m + rt + lj,,

On a d'ailleurs

/ X0dx = 2, I Xndx-=o (»=-ï).

Le résultat est maintenant immédiat : si m est <ft — i> l'inté-

grale (i4) se ramène à une intégrale de la forme

/ Xndx (nli)

et est nulle. Il en est de même de l'intégrale

/ f(x)\ndx,

où f{x) est un polynôme arbitraire de degré Sn — i. Donc Xn

satisfait à l'identité

où A est une constante dont on trouve facilement la valeur

26. Parlons enfin, pour achever l'énumération des fonction v élémentaires, des fonctions circulaires inverses. La fonction

u = arc tangs

sera définie par l'équation

tan g u = z.

On peut trouver aisément l'expression générale de //. en remplaçant tanga par sa valeur en fonction d'exponentielles

donc et en lin

si n // e'" — e-'u e1'" — \

tang/< = - - = — : — = — ■ — ,

COSH i(e"l-\- e+"1) i(eiut-+-i)

„ . T -h Zl l — Z • lut __ -

i — zi i 4- z

n = — . log ■; = — i ; loir :

'Il i -h z ■> }.l ° z -+- 1

La fonction arc tan g 5 se ramène donc à La fonction logarithmique. Ses point s singuliers sont z = -|- i et z = — c. ( )n définira d'une manière analogue La fonction

u = arc *- 1 1 1 z

par l'équation

qui donne

ou

et, par suite,

d'où se conclut

sin u = z

eui — e-ui -- <lzl

eïui^ 2zi eui—i — o,

e"i= zi -+■ y/i — z2,

— -.- log(zi-+- y/î — s2)*

La fonction arc sin^ s'exprime donc à l'aide de la fonction logarithmique.

27. Nous ne nous sommes occupé jusqu'à présent que des développements suivant les puissances entières de la variable. On peut, dans certains cas, par un simple changement de variable, développer une fonction sous une forme différente. L'exemple suivant est relatif au développement d'une fonction en série d'exponentielles.

Soit f(z) une fonction uniforme et continue de z à l'intérieur d'une aire définie par deux parallèles à Oy. On suppose que cette fonction est périodique, l'amplitude de la période étant 2 tw,

f(z -h ini-K) = /(z), de sorte que la valeur de la fonction au point A {fig. 19) est la

Fïg. 19-

tB

DO

même qu'au point B, si le segment AB parallèle à Oy est égal à 2 7i7z, n étant un entier quelconque. Posons

et cherchons quelle est, dans le plan des z {fig- 20), la région

qui correspond à la bande, indéfinie dans les deux sens, comprise entre les parallèles Ml* et NQ. Soit x = a l'équation de la droite AB ; l'affixe d'un quelconque de ses points est

z = a -h iy,

et le point correspondant du plan des z' est

z' = ea e'y,

c'est-à-dire qu'à la droite AB correspond dans le plan des z' uns circonférence de rayon ea et de centre O . Il s'ensuit qu'à Faire

Fig. 20.

MNPQ correspond l'aire limitée par les deux circonférences concentriques qui correspondent aux parallèles MP et TNQ.

La fonction f(s) va devenir une certaine fonction ®(z') uniforme et continue dans l'espace annulaire compris entre ces deux circonférences. Elle sera par conséquent développable dans cette région |>;ir La formule de Laurenl

Par suih- /'( -» sera représentée dans tonte la bande MNPQ par i pie

zoo- 2 v

;/? SE - oo

Si, au lieu de supposer la période v^.\\<- à •/-. on supposait son amplitude égale à a, el que l'aire ^<>ii limitée par deux droites pa rallêlea à celle qui joint le point g au point z \ a. on obtiendrait

l4o CHAPITRE V.

l'expression

2/niTZZ