V. — Sur les produits convergents

28. Quoique nous devions faire peu d'usage de la représentation des fonctions sous forme de produit, il ne sera pas inutile d'indiquer quelques propositions générales relatives aux produits convergents. La théorie des produits convergents ne présente d'ailleurs aucune idée nouvelle, puisque la convergence d'un tel produit se ramène toujours à la convergence d'une série.

Nous commencerons par démontrer le théorème suivant :

Le produit

sera convergent si la série

| «i | H- 1 «2 | H- • • • -+- | an | -4- . . .

est convergente.

INous pouvons supposer que | an | << i , quel que soit /z, puisque nous pouvons laisser de côté des facteurs nécessairement en nombre limité où cette condition ne serait pas remplie.

Ceci dit, supposons d'abord les a réels. Le produit sera convergent, si la série

log([ -h ax) 4- log(n-ffi) +...-blog(i h- an) ■+-., . .

est convergente. Désignons par b les termes positifs et par — c les termes négatifs parmi les a. La série

log(i-h by} 4-Iog(n-£2) rh. . ..-+■ log(n- bn) "-K..

sera convergente, car log(i -\- x) < x quand x est positif. Pareillement, la série

log(i— ci )-+-.. .4- log (i — cn) -h... sera convergente, car on a

iog(i-c„)=- c» ■ , o<e<i,

. 1 — \) Ç fi

FONCTIONS DUNE VARIABLE COMPLEXE. I/Jï

or le facteur - — tend vers un : la série convergera donc

i — tj ca

puisque la série de terme général cn est convergente. Passons maintenant à la série

(1-+- wi)(i-+- u%)., .(i+ un) . . .,

les u étant complexes. Soit un = an -+- bn i '] les séries S | an | et

Z | bn | sont convergentes par hypothèse. Le carré du module de

(i + h«) est

n + a„)-+ b}t ou i+2a„+ a,2, H- 6* .

La série de terme général

2fl«+a,2, H- 6,2

converge évidemment; par suite le module du produit tend vers une limite. Passons à l'argument; celui-ci est pour i -\- un

arc sin

et il faut montrer que la somme des arguments a une limite déterminée. Or cet arc sin est comparable à bft, ce qui rend évident le résultat que l'on veut établir.

2i). Passons maintenant aux produits convergents représentant une fonction de z. On considère le produit

(•5) [i+/iW]['+/i(*))v.[i+/i(»)]...i

les fonctions y< (z )., . . .} fn(z)^ ... sont des fonctions uniformes i i continués dans ]<■ même cercle G de convergence. On suppose <J<' plus, en représentant d'une manière générale par.

la série obtenue en remplaçant dans fi(z) chaque terme par son module, que la série

converge quand Z esl Inférieur au ra\ on du cercle ( ..

Dan- ces conditions nous voulons montrer que le produit i i5) représente une fonction holomorphe de i à V intérieur de I

Considérons d'abord le produit converge ni

P(Z) = [i + Fi(Z)] [i H- F2(Z)] . . . [: h- F„(Z)] ....

SoitPn(Z) le produit des n premiers facteurs; nous pourrons mettre P«(Z) sous la forme

Pn(Z) = AS-4-A'/Z-h...-hA»Z'«H-...,

A'fln étant une constante positive. OrPw(Z) est plus petit que P(Z);

donc tous les termes

sont moindres que P(Z). Mais quand n augmente indéfiniment (m restant fixe) les AJJt augmentent. Par suite A"w , pour 71 ==oç, tend vers une limite que nous désignerons par Am. Ceci dit, remarquons que l'on a

(en ne prenant que /?2 termes); donc, m restant fixe et n augmentant indéfiniment, P(Z) est au moins égal à

A0+ à1Z«-H...H- Aw2>.

Puisque la somme des m premiers termes de la série

(S) A0+ A,Z + ...+ AwZ'»h-...

est moindre que P(Z), on en conclut que cette série (S) est convergente et a au plus P (Z) pour limite. D'autre part, on a

P„(Z)<A0+ Ai Z+...-+-A,„Z'« -4-....

On a donc les inégalités

P„(Z.)< A0h-...+ A//IZ'"^-...<P(Z),

ce qui établit que la série (S) a P (Z) pour limite.

Nous allons maintenant achever aisément la démonstration. En prenant le produit des n premiers facteurs dans le produit (i 5) , on a

a"n est une somme de termes complexes; pour n = oc, c'est la somme des termes d'une série pour laquelle la série des modules est convergente; nous aurons donc une limite pour n*, soit am.

la série

convergera manifestement, et cp (z) coïncide avec la valeur Q (z) du produit convergent ( i5) ; on le voit de suite en remarquant que

|?(*)-Qn(,z)|<P(Z)-lVZ);

or le second membre de cette inégalité tend vers zéro. lien résulte bien que cp(^) est égal à la limite de Qn(z), c'est-à-dire à Q (z). Ce produit convergent est donc mis sous la forme d'une série entière dans un cercle G et la proposition énoncée est complètement établie.