VI. — Décomposition en facteurs des fonctions uniformes

30. La décomposition d'un polynôme en un produit de facteurs linéaires est la proposition fondamentale de l'Algèbre. Considérant une fonction G(~), uniforme et continue dans tout le plan, on a cherché pareillement à décomposer G(z) en un produit de facteurs qui mette en évidence les racines de cette fonction. Cauchy y est arrivé dans des cas étendus, mais sans pouvoir toutefois traiter la question dans toute sa généralité. C'est à M. Weierstrass que l'on doit d'avoir étendu aux fonctions G (s), que nous appellerons avec lui fonctions entières, le théorème fondamental de l'Algèbre. Cet admirable résultai est le point capital du Mémoire de l'illustre auteur que nous avons cité plus haut(4).

Soil une suite de quantités

#1, a*, .... (( ,j, . . . , rangées par ordre croissant de leurs modules et telles que

Il m = o.

Si plusieurs de ces quantités oui même module on rangera les quantités <!«• même modale dans un ordre arbitraire. D'après la

('; < >n trouvera une traduction de ce Mémoire dtni loi \nmil<s de ri Normale tupérieure (i^-<^).

définition même du mot limite, il est clair qu'étant donné un nombre quelconque R il n'y a qu'un nombre limité de valeurs des a dont le module soit inférieur à R.

Ceci posé, nous allons montrer qu'oui peut former une fonction entière G (z) ayant pour racines les quantités a et celles-là seulement. Si plusieurs quantités a sont égales, la racine sera d'un degré de multiplicité égal au nombre de fois que figure cette quantité.

31. Une remarque préliminaire nous sera indispensable. Soit une série

(16) /oU)+/i(*) +..•+/*(*) +...,

dont les termes sont des séries entières convergentes dans un cercle C de rayon R ayant l'origine pour centre. Désignons par

la série obtenue en remplaçant dans fn{z) chaque terme par son module. On suppose que la série à termes positifs

soit convergente pour Z<^R. Dans ces conditions, il est manifeste que la série (16) sera convergente dans le cercle C, et sera susceptible de se mettre sous la forme d'une série entière convergente dans ce même cercle; on peut, en effet, dans la série ( 16), modifier l'ordre des termes, puisque la série des modules de tous les termes, représentée par (17), est, par hypothèse, convergente.

32. Ceci posé, laissons de côté celles des quantités a qui pourraient être égales à zéro, et considérons l'expression

Si l'on suppose que \z\ soit inférieur à |fl%|, nous pouvons envisager

log ih = log ( 1 ) H h- — -h.. .H ( — ) *

• \ av / av 2 \ a , / v — 1 \ «v /

log ( i j représentant une fonction uniforme et continue dans

le cercle de rayon |«v| et s'annulant pour z = o. On aura, par suite,

,os"''=-H0'-■^-(0'+'-••••

d'où l'on conclut

mv = e

Nous voulons maintenant montrer qne le produit infîn

est convergent et représente une fonction entière de z s'annulant pour

v étant un entier quelconque. A cet effet, montrons que le produit (18) représente une fonction uniforme et continue de z dans le cercle de rayon av. Laissant de côté les facteurs en nombre limité correspondant à des valeurs des a de module moindre que av, nous avons

-s[Stër+.4r(=r*---]

z |< I av

La convergence du produit sera rétablie, si nous montrons que l.i série

est convergente- pour | z | << | av I.

Nous avons là une série donl chaque terme est lui même une série ordonnée suivanl les puissances de 3 ; or on a

z an