II

Nous devons montrer, pour pouvoir appliquer !<• lemme <lu para-

f]( AIU». — M.

l46 CHAPITRE V.

graphe précédent, que la série dont le terme général est

est convergente. Il en est ainsi, car le rapport d'un terme au précédent est

#rc-hl

an+\ <%n+l

an-J>-\

qui tend vers zéro à cause du facteur

Nous sommes donc assuré que la série (19) représente une fonction holomorphe dans le cercle de rayon |av|. Le produit (18) représente donc une fonction de z holomorphe dans ce cercle ; cette fonction s'annule pour

ai, «2>

et elle n'a pas d'autres racines dans ce cercle.

L'entier v est d'ailleurs absolument arbitraire. On en conclut donc bien que le produit

U\ w2 . . . Wv • • •

représente une fonction entière de z ayant pour zéros les valeurs données et celles-là seulement, Les facteurs u ont été appelés par M. Weierstrass facteurs primaires ; on voit que, outre le facteur

linéaire ( 1 \> le facteur primaire uH contient une exponentielle. C'est la présence de cette exponentielle qui rend possible la convergence du produit infini formé avec les facteurs u. Dans le cas où z = o devrait être racine multiple d'ordre X, on mettrait zh en facteur devant le produit trouvé.

33. Nous venons de nous placer dans le cas le plus général. Dans certains cas particuliers, il sera possible d'employer des facteurs primaires un peu plus simples. Ainsi, supposons que la

série de ternie général

p étant un entier déterminé, soit convergente. On pourra prendre pour uv

On le voit de suite, en se reportant à l'analyse précédente; la rie dont on a al de terme général

série dont on a alors à montrer la convergence se réduit à la série

dont la convergence est évidente d'après l'hypothèse faile plus haut.

34. Une première conséquence bien remarquable déduite par M. Weierstrass du théorème précédent est relative à la forme d'une fonction f\z) uniforme dans tout le plan et n'ayant à dislance finie que des pôles.

On peut, en effet, former une fonction entière G (z) ayant pour racines des pôles dejf(s) et avec le même degré de multiplicité ;

le produit

sera alors une fonction entière G|(s), et l'on aura par suite

fi z ) peut donc se mettre sous la forme d'un quotient de deux fondions entières. ( )n remarquera que les fonctions <« et (1,. obtenues par les considérations précédentes, n'onl pas de racines communes, car les racines de G(s) donnent au produit /'< z)G(z) d<-> valeurs finies h différentes <\<- zéro.