Si, tu lieu d'une succession de points

"i, "z, . .., an. ...

s'éloignant à l'infini, on a des points pour lesquels

lim an= a,

on pourra former une fonction ayant pour point singulier essentiel le point a et les racines a, , a2, . . . , an, .... 11 n'y a en effet qu'à prendre pour facteur primaire

, v Oy—rl 1 / fl., — rt\2 1 fa,. — (7 \v— I

et il n'y a rien à changer au raisonnement fait plus haut pour établir que le produit converge pour toute valeur de z différente de a. On suppose, bien entendu, les a disposés dans un ordre tel que \an — a\ ne croisse pas avec n. La fonction ainsi trouvée sera

une fonction entière de > et, en désignant d'une manière

générale par G(z) une fonction entière de £, on obtient de cette

manière une fonction

ayant comme unique singularité le point essentiel a et les zéros donnés par la série (20).

36. On peut bien aisément généraliser le résultat précédent ( { ), en l'étendant aux fonctions uniformes, continues pour tous les points du plan, à l'exception de ceux qui sont situés sur une circonférence G de rayon R dont le centre est à l'origine.

Soit une suite de quantités

(21) Ai, A2, ..., A„, ...

telles que, en posant An= p«^'a«, pn étant le module et 0Ln l'argument, on ait

|f>»-R|^|p«-M-Rl et de plus

lim p„= R.

(l) E. Picard, Sur la décomposition en facteurs primaires des fonctions uniformes ayant une ligne de points singuliers essentiels ( Comptes rendus, 21 mars 1881).

FONCTIONS D'UNE VARIABLE COMPLEXE. l49

Nous allons montrer qu'on peut former une expression, dépendant de j, uniforme et continue dans tout le plan en dehors de la circonférence, qui représentera une fonction analytique de z à l'intérieur et à l'extérieur de la circonférence et s'annulera pour tous les termes de la suite (21).

A la suite (21) associons une seconde suite

Im. B,, ..., B„, ...

représentant des points situés sur la circonférence C et telle que

lim ( \n— B,j) — 0.

Ce choix peut être fait d'une infinité de manières ; il en est une immédiate obtenue en faisant

Ceci posé, on prendra la fonction