G^=II

en posant

/A„-B„y 1 /a„— B,ty-»

La démonstration de la convergence de ce produit infini est immédiate. Ecrivons) en effet, le facteur primaire sous La forme

Pour un point donné 3 qui n'est pas sur la circonférence, nous considérons les facteurs primaires à partir du rang v tel que

qui est possible, puisque le second membre <!<• cette Inégalité tend vers zéro avec — On peut alors mettre u„ su us l,i forme

I /An— Bw\" l /A B '

, n \ z II,, ) n ■ 1 r l

Ir>0 CIlAIMIKi: V.

tout à fait analogue à celle que nous avons obtenue dans le cas du seul point singulier a. Il ne reste plus qu'à montrer que la série

représente une fonction analytique de z dans l'une et l'autre région du plan où

l-s— B„ | > | A„— B„| (ra = v, v + i, ...,co).

On pourra prendre pour une de ces régions l'intérieur d'un cercle F décrit de l'origine comme centre, dont le rayon convenablement choisi sera moindre que R, et pour l'autre l'extérieur d'un cercle Y' dont le rayon sera supérieur à R. Ces deux circonférences sont d'ailleurs bien évidemment d'autant plus rapprochées de la circonférence C que v est plus grand.

Il nous suffira de supposer z dans le cercle T. Chaque terme de la série (22) est une fonction analytique continue dans ce cercle- De plus, développons le terme général

suivant les puissances de z et voyons ce que devient ce développement quand on remplace chaque terme par son module. Or, quand on développe en série un terme quelconque de la suite précédente, et qu'on remplace chaque terme par son module, on obtient le développement de ce terme où A„ — B/M z et Bn ont été remplacés par leurs modules. On a donc, en employant les notations du lemme (§31),

*n(L)~n (R-Z)" +/^-i (R-Z)*-H "f•••' L-\"\ et, par suite,

t I A RI" t I A R |«+

r n ( L ) <C — — rr; r, H- —

/i (R — Z)» /1 (H — Zyi+l

(R-Z) Il n'y a plus rien à changer à la suite du raisonnement : on voit

■de suite que la série de terme général F„(Z) est convergente, et, par suite, d'après le lemme, l'expression (22) est une fonction analytique dans le cercle T. On venait de la même manière quelle jouit de la même propriété à l'intérieur du cercle Y' .

D'ailleurs, comme nous l'avons dit, ces deux cercles, si l'on prend v assez grand, sont aussi rapprochés que l'on veut du cercle G. Le produit convergent G (z) représente donc une fonction analytique et continue de z à l'intérieur et à V extérieur du cercle G ; il a de plus pour racines les points de la suite (21 ).

Il est clair que si la série de terme général

p étant un entier fixe, est convergente, on pourra prendre comme facteur primaire

en posant

Vn{Z)

z — B„ a \ z ■— Bn ) p — i\z— B„

On remarquera qu'en général l'expression précédente représentera deux fonctions analytiques distinctes à l'intérieur et à l'extérieur de G, c'est-à-dire que les deux fonctions ne seront pas le prolongement analytique l'une de l'autre (Chap. Il, § 18). La circonférence pourra être pour la fonction une ligne de points singuliers essentiels. Nous sommes ainsi conduit au i\|>r de fonctions, donl nous avons déjà indiqué quelques exemples (Chap. II, § 18), puni Lesquels le prolongement analytique n'est pas possible au delà d'une certaine courbe.

37 Indiquons deux exemples très simples : Soit R = 1 ; posons

On aura, sur le cercle de rayon 1 — -> // points A formant les sommets d'un polygone régulier. Quand // augmente indéfiniment, on a ainsi une suite de points tendant vers la circonférence de rayon un. Nous prendrons, comme point \\„ correspondant à A„,

le terme Aw — B^ sera donc

et, par suite,

•2 ki 71

et il ne faut pas oublier que n racines de même module correspondent à l'indice n. Cherchons s'il y a une puissance p telle que

la série

soit convergente. Cette série peut s'écrire

puisqu'il y a n termes pour lesquels \k.n — Bn| a la même valeur -• On pourra donc prendre

P = 3> et le facteur primaire sera

Z A" en\z — Bn) + 2 n* (z — Bn)9 Z - Bn

La fonction représentée par le produit de ces facteurs ne pourra certainement pas s'étendre au delà du cercle de rayon un, car dans le voisinage de tout point du cercle elle a une infinité de racines, ce qui est incompatible avec la possibilité d'une extension analytique.

Je donnerai un second exemple où le choix des quantités B sera fait d'une manière différente. Supposons que l'expression générale

des racines soit

A = 35 Tu f-îi

a, 6, c, d étant quatre entiers réels satisfaisant à la relation

ad — bc = i ; on a ici R == i .

Nous prendrons B = 1-.; le point B est bien sur la circonfé-

1 d -h bi ' r

rence de rayon un et l'on aura