IA-B
v/(62-+-rf*)(a*4-62-+-cSH-rf2-h2)
FONCTIONS D'UNE VARIABLE COMPLEYE. i 53
La série multiple dont le ternie général est | A — B|2, a, 6, c, d
pouvant prendre toutes les valeurs entières possibles satisfaisant
à la relation
ad — bc = i,
est convergente : c'est ce que Ion reconnaît en considérant à la place de la série une intégrale triple convenable dont la valeur reste finie quand les limites deviennent infinies. On pourra, par conséquent, poser
le signe I indiquant le produit de tous ces facteurs correspondant à toutes les valeurs entières de a, 6, c, d qui satisfont à la relation ad — bc — i .
38. Revenons à la décomposition d'une fonction entière en facteurs primaires. Nous nous sommes donné les racines, et nous avons obtenu une fonction entière G (z) ayant ces racines. Toute autre fonction entière G, (z) ayant les mêmes racines avec le même degré de multiplicité sera telle que
Gt(g)
sera une fonction entière v(z) ne s'annulant pas. Or, dans ces
conditions, — — - sera encore une tonclion entière; donc
? iz)
?(<*) = *m« ■ H(^) représentant une fonction entière. Par suite on a
Gl(z) = G c !cH
Dans I;i pratique, pour une fonction donnée Ci, (z ), la recherche de la fond ion rl(s) et l'étude <l<' ses propriétés pourra présenter des difficultés. Ainsi, soit la fonction sin^j Ses racines sonl
données par
g = nit,
// étant un entier j » « »s 1 1 il ou négatif. Nous pouvons former une
fonction G (s) ayant ces racines; ce sera
z nu
le produit I étant étendu aux valeurs entières positives et négatives de rc, à l'exclusion de n — o. On peut, dans le cas actuel,, simplifier beaucoup en groupant deux à deux les facteurs correspondant à des valeurs de n égales et de signe contraire. Ce groupement est d'ailleurs celui auquel conduit l'application de la méthode, puisque, les racines étant rangées par ordre croissant de modules, les deux racines -f- nu et — niz se suivent nécessairement. On obtient ainsi
G(,) = ,fl
il en résulte que
sin^ = G(z)e^-K
Quant à la détermination de la fonction entière H (z)1 elle ne peut résulter de la théorie précédente. Nous verrons dans le Chapitre suivant que H(^)= o.
39. De la décomposition de la fonction désignée, dune manière générale par G(^), on conclut un développement de la dérivée
logarithmique
on a
g'co y r
G(z) " Zà\z
— eu, av
Nous obtenons donc ainsi un développement de en une
série de termes rationnels en z. Cette fonction a pour pôles simples les points
et le résidu correspondant à chacun de ces pôles est -(- i .
Ce résultat conduit à se poser une question plus générale. En se donnant les points singuliers (pôles et points singuliers essen-
FONCTIONS DINE VARIABLE COMPLEXE, l55
liels isolés)
au a2, . . ., am . . ., lim an= »,
n = oc
et pour chaque point singulier an la portion
(G/! étant une fonction entière donnée) qui, clans le voisinage de z = an, ne sera pas holomorphe, peut-on former une fonction f (3) ayant les points a comme points singuliers, et telle que
soit holomorphe dans le voisinage de afl ? Il en est bien ainsi, comme l'a montré M. Mittag-Leffler; nous nous contenterons d'énoncer ce beau théorème, renvoyant pour la démonstration au Cours d'Analyse de M. Hermite (4e édition, Hermann; 1891) où l'on en trouvera de nombreuses applications.
La décomposition en facteurs primaires dune fonction, pouvant avoir une ligne de points singuliers essentiels, dont j'ai donné le premier exemple en traitant le cas de la circonférence, conduisait à une question analogue relativement au cas où les points singuliers peuvent tendre vers les points d'une ou plusieurs lignes. M. Mittag-Leffler, s'inspirant toujours de la même idée, a traite ce genre de questions dans toute sa généralité ; nous renverrons à son remarquable Mémoire où l'on trouvera le développement complet de cette théorie ( ' ).
VII. — Sur quelques développements en séries; séries de polynômes.
10. Nous ferons maintenant quelques remarques 9ur certains développements en séries. \ <>iei Lout d'abord une remarque, qui
(*) <.. \lrrr\'. Lefflkr, Sur la représentation analytique des fonction* nvonés uniforme* d'une variable indépendante 1 icta mathentaticat t. l\. . Pour toutes ce» questions on consultera aussi lei Leçons de M . Borel: Sur la théo fonctions.
l56 CHAPITRE V.
paraît duc à Weierstrass, et qui généralise la propriété fondamentale des séries entières. Soit une série
(S) y1(ar)h/2(^)h..#-h/n(a?).4-.',.
dont le terme général fn(&) est une fonction analytique uniforme et continue de x dans une aire A limitée par un contour simple G(1). On suppose, de plus, que la série formée par les f est uniformément convergente dans toute aire A' intérieure à A. On va démontrer que la somme F(x) de la série représente une fonction analytique de x dans l'aire A.
Nous rappellerons que la série (S) est dite uniformément convergente dans une aire A' limitée par un contour C, quand, un nombre £ étant donné à l'avance, on peut prendre n assez grand pour que le reste de la série ait un module inférieur à e, quel que soit le point x dans h! ou sur C .
La démonstration du théorème énoncé est immédiate, en se servant de l'intégrale de Gauchy. Prenons un contour fermé T situé entre C et C' et n'ayant aucun point commun avec l'un et l'autre. En désignant par x un point de l'aire A' on a
Par suite
S. Tt t J S Jb
Or, d'après nos hypothèses, la série (S) est uniformément convergente sur F. Donc, en prenant n assez grand, on a, pour un nombre e donné à l'avance,
/tM+/2(s)-H...-H/,i<>) = F(>) + p„,
|pn| étant moindre que s, quel que soit z sur T. Nous aurons donc, pour tout point x situé dans A; (ou sur G),
•2 TC l Jy Z — X IT.l Jy Z — X
(*) Nous supposons que le contour est simple uniquement pour abréger.
FONCTIONS D'UNE VARIABLE COMPLEXE. l5;
Le module du second terme dans le second membre est moindre que
ds
ds étant l'élément d'arc de la courbe T, et est par conséquent très petit sis estlui-même très petit. On en conclut que la série
a pour somme
i r¥(z)dz
i ni Jy z — x
L'égalité qui vient d'être établie
F(*) = -L. filial 2 r.i Jy z — x
démontre manifestement que F (a?) est une fonction analytique de x dans l'aire A' et, par suite, dans tout l'intérieur de l'aire A.
41. Prenons, comme application, une série considérée par M. Pringsheim et que nous avons déjà envisagée pour un autre objet (p. 34 du Tome 1, en note). Soit
fo) =y
ly
où nous supposons que a et X sont des constantes réelles avec |a|>i. On peut appliquer à cette série le théorème précédent. La série converge pour tout point dont l'aflixe n'est pas de la forme
iv entier positif),
et elle converge uniformément dans toute aire qui iw comprend pas de tels points à son intérieur ou sur s,i frontière. La fonction F(x) est donc une fonction analytique uniforme de x dans tout !«' plan de La variable complète a ; elle a pour pôles les points en oombre infini
Ces points sont sur l'axe des quantités complexes, et <»nt pour
IJS CHAPITRE V.
limite l'origine qui est un point singulier essentiel de la fonction. Nous avons indiqué (note citée) que la série de Maclaurin formée avec les dérivées de la fonction précédente pour x =^ o était
Si X est négatif, la série converge, comme on le voit de suite, pour toute valeur de x. Mais la fonction entière z>(x) est distincte de F(#), qui a, à l'origine, un point singulier essentiel ; le résultat énoncé (loc. cit.) est donc immédiat, quand on se place au point de vue de la théorie des fonctions d'une variable complexe.
42. Les développements d'une fonction en série de polynômes appellent nécessairement l'attention. C'est un sujet dont nous nous sommes déjà occupé au Tome I de cet Ouvrage (p. 3^6), mais il s'agissait alors de fonction d'une variable réelle. Prenons maintenant une fonction holomorphe d'une variable complexe x dans une aire A. M. Runge(1) a le premier établi qu' une telle fonction peut être développée en une série de polynômes uniformément convergente dans toute aire A! intérieure à A. Nous allons suivre son analyse, dont leprincipe est extrêmement simple.
Nous partons d'une fonctionna?) holomorphe dans une aire A limitée par le contour C et sur le contour de cette aire, de telle sorte que nous avons la formule de Cauchy, pour un point x intérieur à A,
f(x) = ^ f£fldz.
1 TZ l Jc Z — X
En prenant des points zt, z2, . . . , zn7 zn+t = z{ sur le contour C, on aura, d'après le théorème fondamental relatif à l'existence de l'intégrale définie,
f(x) = : lim 7 —
(*) C. Runge, Zur Théorie der eindeutigen analytischen Functionen (Acta mathemaUcct) t. VI, 1880).
FONCTIONS D'UNE VARIABLE COMPLEXE. l5$
quand toutes les différences zi+\ — z% tendent vers zéro, leur nombre augmentant indéfiniment. Posons
2viQn(x)^/(")(^-'à
On sait que, pour une valeur donnée de x, on peut prendre les intervalles z{+i — zi assez petits et n assez grand pour que Q^ (x) diffère de/(.r) d'aussi peu que Ion veut. Avec plus de précision, en se donnant s„ à l'avance, on peut déterminer ô et N de telle sorte que l'on ait
quand on aura tous les \Zi+t — zA inférieurs à o et n supérieur ou égal à N. De plus, il suffit de se reporter à la démonstration de ce théorème fondamental (par exemple, t. I, p. 3) pour reconnaître que ces approximations sont indépendantes de x1 pourvu (pie x reste dans une aire A' intérieure à A.
Nous concluons de là que Ton peut, dans l'aire A', représenter f (x) par une fonction rationnelle
avec une approximation supérieure à e», et cela quel que soit x dans \' . Les pôles de cette fonction rationnelle, qui sont les points s,-, sont extérieurs à A'. D'autre part, étant donnée une fonction Q„ (x) dont les pôles sont extérieurs à A', on peut déterminer un polynôme P„ (x) tel que
|P»(ar)— Q*(a?) < ï)„ (dans Taire A'),
r,„ étant un nnmlue donne a l'avance. Il suffit de le prouver pour
une fraction rationnelle du type > a étant extérieur à A'
[puisque ()/t(x) est une somme de telles fractions, multipliées par des coefficients corn enables |.
Or, ce point est évident) si l'on peul tracer un cercle comprenant \ i son Intérieur, el auquel a soii extérieur) car il suffira alors de se servir du développement de Taylor, en y prenant un nombre Limité de termes, pour avoir, par un polynôme, l'approximation chei i li
l6o CHAPITRE V.
Les choses sont moins simples dans le cas général. Voici comment M. Runge ramène le cas général à ce cas particulier. Soit b un autre point, d'ailleurs quelconque, extérieur à A' ; on va montrer qu'on peut former une fonction rationnelle n'ayant de pôle qu'en b,
et qui, dans A', représentera avec l'approximation que
l'on voudra. A cet effet, nous allons aller de a en b de proche en proche. Soit aK un point assez voisin de a pour que
quand x est dans A' ou sur le contour G' de A'. Prenons l'expression
(x-ay l l - \^=^l) J {q ent,er p0Slt,f) ; elle devient infinie seulement en a<, et diffère très peu dans A' de
si q est pris assez grand. Nous sommes donc ramené à une fonction rationnelle n'ayant que le pôle a\ ; on continuera ainsi de proche en proche, et l'on arrivera, au bout d'un nombre limité d'opérations, à une fonction rationnelle n'ayant que le pôle &, qui, dans A', différera de d'aussi peu que l'on voudra (l'erreur
étant représentée par la somme des erreurs partielles, en nombre limité, elles-mêmes aussi petites que l'on veut). 11 suffit maintenant d'avoir pris le point b assez loin de l'aire A' pour être dans le cas particulier mentionné plus haut.
On aura donc, par suite,
I/O) — P«0) ! < £/i-4-iQn= a/t
ou encore, en d'autres termes, on peut, étant donné un nombre
positif aussi petit que l'on veut, a„, déterminer un polynôme en x,
P„ (x), tel que
\f(x)-Pn(x)\<«n
pour tous les points de l'aire A'.
La démonstration s'achève maintenant, comme pour le théorème de Weierstrass dans le cas d'une variable réelle (t. I, 3e édi-
FONCTIONS D'UNE VARIABLE COMPLEXE. l6l
tion p. 3^6), et nous pouvons conclure que toute fonction holomorplie dans A. peut être développée en une série de polynômes uniformément convergente dans toute aire A' intérieure à A.
43. Dans le cas où le contour C limitant l'aire A est convexe, M. Painlevé (l) démontre le théorème précédent de la manière suivante, en admettant de plus qu'on puisse en chaque point M de ce contour tracer un cercle tangent en M au contour et le comprenant à son intérieur; la position de ce cercle variera d'une manière continue, sauf aux points anguleux, s'il y en a. On vérifie sans peine que la construction de ces cercles est possible si, en chaque point d'un contour convexe C, la courbe a un contact simple avec sa tangente. M étant donc un point quelconque du contour, soit Y le cercle tangent à CenlNJ. Désignons par z l'affixe de M, par a l'affixe du centre de T; nous aurons, x étant intérieur
= h •: r -+• . . . -+- ; r^TZ -h . . . = A ( £ ).
z — x z — a (z — af (z — a)n+l v '
Faisons parcourir au point M la courbe C, a variant avec z d'une manière continue (sauf aux points anguleux de C). La
série A.(z) converge sur G uniformément et représente • En
