Z ■■ OC
remplaçant donc par ce développement dans la formule de
Cauchj, il vient
P„ (x) désignant un polynôme en x de degré n. Nous sommes donc ainsi conduits au théorème du paragraphe précédent pour le cas d'une aire convexe (2).
\\. Je !)<■ |)iu> songer à citer tous les travaux intéressants se rapportant aui développements des fonctions <'n séries de poly-
C) P, Painlbvé, innales de la Faculté des Sciences de Toulouse, isss. (2 ) Voir, <l;jns mi ordre d'idées analogues, te Mémoire de M. Ippell Sur les loppentent* en séries dans des aires limitées par des arcs de cercle l I
mathrmnlK (I. t I .
IM- \l!tl. — II. Il
nomes. Mentionnons seulement un Mémoire où M. Hilbert (Gôtt. Nachr., 1898) démontre par une autre voie le théorème de M. Runge et une Note de M. Painlevé sur le même sujet {Comptes rendus, 1899). Les travaux de M. Mittag-Leffler se rapportent à un ordre d'idées un peu différent (Acta mat hématie a, t. XXIII et suivants). Nous allons en dire un mot, en nous plaçant au point de vue adopté par M. Borel dans cette question (i ). Considérant l'expression
nous allons admettre que l'on peut développer cette fonction en une série de polynômes
Pi<») ■■+■ P2(») -K-. -*-P*(k) -f...
qui soit uniformément convergente dans toute aire finie n'ayant aucun point commun avec le prolongement (1, +00) de la droite joignant l'origine au point un, qui va de ce dernier point à l'infini. La possibilité d'un tel développement peut se démontrer de diverses manières; devant le déduire, au Chapitre XI, d'une remarque générale sur les équations différentielles, nous l'admettrons pour le moment. Nous désignerons par A le plan de la variable u où l'on a tracé la coupure (-f- i , 00). Ceci posé, définissons ce que M. Mittag-Leffler appelle Y étoile correspondant à une
série entière
a0-\- a^z -h. . . 4- am zm -f- . . . .
Cette série, nous le supposons, a un certain cercle de convergence ; effectuons son prolongement analytique le long d'un rayon déterminé, c'est-à-dire en prenant sur ce rayon les centres des circonférences servant à faire le prolongement. On pourra, en opérant ainsi, aller jusqu'à l'infini ou être arrêté en un certain point M, qu'on ne pourra pas dépasser. Si l'on opère ainsi pour tous les rayons de la circonférence, on aura une succession de points M (qui pourront être, en totalité ou en partie, à l'infini); l'ensemble des rayons compris entre l'origine et chaque point M formera une
(*) E. Borel, Mémoire sur les séries divergentes (Annales de l'École Normale, 1899).
FONCTIONS D'UNE VARIABLE COMPLEXE. l63
aire qui est l'étoile E que nous voulons définir. On a dans l'étoile une fonction holomorphe, qui est le prolongement de la série entière donnée. Le théorème de M. Mittag-Leffler consiste en ce que cette fonction peut être développée en une série de polynômes uniformément convergente dans toute aire intérieure à rétoile, les coefficients de ces polynômes s 'exprimant linéairement à V aide des a et de quantités numériques.
Pour démontrer ce théorème partons, avec M. Borel, de l'intégrale de Cauchy
fu)=j-, fumé:..
J V ' 21ZIJ X — Z
Désignons par C, dans le plan de la variable complexe s, une courbe limitant une aire intérieure à l'étoile E; c'est sur cette courbe qu'est prise l'intégrale ci-dessus. Posons
Donnons à x une valeur variable mobile sur la frontière de l'étoile et à z une valeur fixe, quelconque d'ailleurs, à l'intérieur de l'étoile, le point u se déplacera dans A sans traverser la coupure (i, co); car, si u devenait réel et supérieur à un, l'égalité
z = ux
montre que le point z serait sur le rayon allant de l'origine à x était delà de ce point, il serait donc extérieur à l'étoile. Nous concluons de là que, si x décrit un contour C suffisamment rapproché de la frontière dé l'étoile, z étant toujours intérieur à l'étoile, le point u restera dans une aire A' intérieure à A.
Supposons que. dans l'intégrale que j'écris sous la forme
/(„ = J-. fus) i^,
, 1-Kl J X Z
le contour C ^«»ii celui <1 on i il vient d'être parlé; on peut développer
l64 CHAPITRE V.
en série de polynômes, comme il a été dit,
A cause de la convergence uniforme de cette série, on pourra intégrer terme à terme, et l'on aura ainsi
^f^-Ïf^^iî)^
Les termes de cette série sont manifestement des polynômes en z, remplissant les conditions énoncées ; le théorème de M. Mittag-Leffler est établi.
Nous dirons encore au Chapitre X quelques mots sur cette question du développement en série de polynômes, quand nous aurons étudié le problème de la représentation conforme.
VIII. — Quelques théorèmes généraux sur les séries des fonctions holomorphes.
45. Nous nous proposons, dans cette section, de faire connaître un certain nombre de théorèmes généraux relatifs à la convergence des séries (S)/\ (x) -r-/a(^) ■+•••- +/« (#) +• • • dont les termes sont fonctions holomorphes de x dans une certaine aire A. Nous avons déjà vu au n° 40 que si la série (S) converge uniformément (') dans toute aire A' intérieure à A, sa somme F (x) est une fonction holomorphe de x.
Or il suffit que la série (S) converge uniformément sur le contour G de Vaire A(2) pour qu'elle converge uniformément dans toute aire A' intérieure à A. C'est en fait ce que montre la démonstration du n° 40.
(!) M. Osgood (Annals of Mathematics, 2e série, t. III, n° 1) a démontré que dans tout domaine où une série de fonctions holomorphes converge, on peut en trouver un autre où elle converge uniformément ; nous nous contenterons ici de citer cet intéressant théorème.
(2) Ce contour peut être formé d'une ou de plusieurs courbes fermées.
FONCTIONS D'UNE VARIABLE COMPLEXE. 1 6 j
16. D'autres critères de convergence ont un caractère moins immédiat. En voici un qui est dû à Stieltjes ({ ).
Pour simplifier l'exposé, supposons l'aire A limitée par un contour simple C. On verra facilement que cette hypothèse ne restreint pas la généralité. Soit la série/, (z) -h /s ( z) -f-, . .-+-/"« (^)-p-. . . , les/n étant holomorphes dans C et sur C.
Posons Sn (z) =/i (z) -f-/"* (z) -f-. . .-f-/"» (z)', sous les deux hypothèses suivantes :
i° Quel que soit n on a
M étant un nombre fixe, pour tout point z intérieur à G;
2° Dans une certaine aire A, intérieure à C, S„ (z) tend uniformément vers une certaine limite;
on pourra affirmer que Sfl(z) converge uniformément vers une limite dans toute aire intérieure à C.
En deux mots, si la suite des S,t(z) est bornée dans G par un nombre fixe Met si elle converge uniformément dans une portion i intérieure à C) de l'aire limitée par G, elle converge uniformément dans toute aire intérieure à C.
Examinons d'abord le cas de deux cercles C et C,, ayant leur centre à l'origine, de i a\ mis R et R, [R >> R, J.
Soit
le développement de Taylor de /a | s), valable dans G.
Par hypothèse, 2ufn{z) converge uniformément dans C, et
sur C, . Donc on a
i étant donné a priori arbitraire, à partir d'une certaine valeur
de n. quel que soit //. pour |*| El, .
Recherches tur les fractions continues {Annale* de la Faculté des Sciences de Toulouse, i8$4). Voii aussi pondance d'Hermite et de
Stieltjes », t. il. letti [oo, joa, p.
iG6
Si l'on forme
A = ra + n'
izzO \ k=z n
on aura d'après un théorème classique
fc=zn
<rt;
Ceci prouve qne la série ^ A* est convergente.
k=\ Posons
L'inégalité ( i ) va nous fournir une limite supérieure de c/. En effet, puisque
et puisque
il est clair que
S„(*)| < M dans C,
car 2, A-f est Ie coefficient de s* dans le développement de Sn(z)y
valable dans C.
Donc
Considérons la série
F(*)=yw,
elle convergera dans le cercle C puisque | et | <[ -£■£• Montrons que Sn (z) converge vers F(s) <ia/?s C powr /* = oo.
Envisageons la différence
fc = n ri'
•' o- 2 Mz)>
le coefficient de zl dans son développement de Taylor sera
Donnons d'abord à n une valeur (ixe et telle que l'inégalité (2) soit vraie pour tout ri . Puis considérons les valeurs de z telles que |.3J^R/<R7 IV étant >R, et d'ailleurs aussi voisin de R que l'on voudra.
Nous écrirons
n + n' /> / x \ ao / se
,4, p(,)-2/i(«)-2*'( î An+ÎW 2 A'
L'inégalité (2) prouve alors que le module de la première somme de (4) est inférieur à
L'inégalité (3) prouve ensuite que le module de la deuxième somme dans (/j) est inférieur à
W étant <R, on peut choisir/? assez grand pour <|n<' cette dernière expression soil inférieure à tout nombre fixé y, arbitrairement petit./? étanl ainsi choisi, si l'on a pria La quantité 1 <jin figure
dans (2) telle <{"i<-
ri » n'
<»ii voit (jnr la différence I < 2 ^ /*(5) sera, pour (:> I» .
inférieure en module à 2 7,; c'est dire que la série ^/a(^) con-
verge uniformément dans tout cercle intérieur à C vers F (z).
Le théorème étant démontré pour des aires circulaires concentriques s'étend à des aires quelconques parle procédé classique du prolongement analytique indiqué antérieurement [voir par exemple Cliap. II, § 18, du présent volume). On choisira dans l'aire A, limitée par G, , un cercle y, on tracera le plus grand cercle y,, intérieur à C, concentrique à y, et la série S /a (z) uniformément convergente dans A et y sera uniformément convergente dans y,. On continuera ainsi en substituant y4 à C, , et, toute aire intérieure à C pouvant être recouverte par un nombre fini de cercles issus de proche en proche de y4 par la méthode du prolongement analytique, on en conclut aussitôt l'exactitude du théorème de Stieltjes.
47. L'hypothèse 20 du théorème de Stieltjes peut être remplacée par une autre moins restrictive sans que la conclusion cesse d'être valable. C'est ce qu'on montré MM. Vitali et Porter (Vitali, Annali di Mathematica, iqo5; Porter, Annals of Mathematics,
Supposant donc :
i° Que dans G et sur G on ait | Sn (z) | < M quel que soit n;
20 Que S,2 (z) converge vers une limite pour une infinité de points a, , a2j . . . , a*, ... ayant au moins un point limite l dans Caire limitée par C;
il est possible d'affirmer que Sn(z) converge vers une limite uniformément dans toute aire intérieure à G.
