La démonstration va résulter aussitôt du fait suivant
Sous la seule hypothèse i°, à savoir \Sn(z)\ <^M dans C et sur C, on peut, de la suite
(5) Si(*), S2(*), ..., Sn(z), ...,
extraire une suite qui converge uniformément vers une fonc-
tioti ko lo moi' plie dans tout domaine limité par une courbe C intérieure à C.
En effet, soit£0 un point de l'aire A' limitée par C. Les | Srt (z9) \ étant bornés, il y a pour les Sfl(z0) au moins un point limite : soit P0; on peut donc, de la suite (5), extraire une suite
(6) Sj(«), SU-?), •-., SA(«), ...,
qui, pour z = z0, tendra vers P0.
Prenons un autre point z{ ; les S^(^( ) étant bornés oui au moins un point limite 1)1 , c'est-à-dire qu'on peut extraire de (6) une suite
(7) Sît*), Sï(*), ..„ SJ(*), ...
qui. pour z = zt, converge vers P,. z étant donné, on aura, pour n ^>Nl5 N< étant pris assez grand,
|-Po-s8(«o)ï<t;
|Pi-Si(«iJ|<«;
la première de ces deux inégalités résultant de ce que les SJ(-s) sont pris parmi les S*.
Prenons, de même, des points z2) c:î,..., zp ; chacun d'eux donnera naissance à une suite prise dans la précédente, el cette suite aura respectivement pour z0 c, z2. . . c/; les limites P0, PfJ ..., P^,, ît-à-dire qu'on aura
( n : N« ( N» dépendant de : donné).
(8) |P*-SS+» (**)!< * pour i » \
Choisissons pour les c7, les sommets d'un quadrillage parallèle aux ax<- «le telle façon que les sommets utilisés à un moment donné subsistent dans la subdivision suivante : on tracera un quadrillage
initial, on numérotera c„, 3, w, ses sommets intérieurs à G ou
sur C'j puis on divisera chacun «1rs carrés initiaux en quatre parties égales par «les parallèles au\ axes et les nouveaux sommets du quadrillage obtenu seront numérot< , z-/\ <>n conti-
nuera ainsi indéfiniment les subdivisions successives des carrés en ... parties égales et l'on numérotera chaque !<>is les nouveaux sommets à la suite des précédents.
ipposons ,j,i ,, i,,,,. certaine étape du quadrillage les carrés
aient une diagonale ô et soit s0, zt , . . . , z p l'ensemble des sommets intérieurs à G' ou sur C. En appliquant le procédé indiqué plus haut on aura une suite
(9) sç+iu), s^*<>), ..., s<r*>(*), ....
A l'étape suivante on aura une suite de points
qui conduira à la suite
évidemment comprise dans la suite (9) et l'on aura
t n^/,^4 1 [ pour «'>• N„, q = o, 1,2, . . ., p,
î quel que soit h > o,
car il est clair que les S^+/i+1(^) pour nf^>Np font partie des
S£(s) pour /i ^> N^.
De (8) et ( 1 1 ) on conclut
( n > Np,
(12) \y;^K{zq)-^\zq)\<^ pour /i'>N/M
o, 1, .... p, et cela quel que soit h ^> o.
Soit z un point quelconque de l'aire A' intérieure à G', et supposons-le dans un carré du quadrillage ayant zq pour un de ses sommets, la formule de Caucliy donnera
1 n'SfîWo s)î+*(oiA
Sg+l(*)^SS«(^)-=-i-. r
£ — z if — £,
2TZI Jc {t—Z){t — Zq~
Si X désigne la plus courte distance de C à G' et L la longueur
de C, on aura
S£+1;(*)-Sg+*Og)|<
car \ z — zq | <l 8. De môme
inégalités qui, jointes à (12), fournissent
(i3) | S^+1 (s) - Sg+>(*) | < a£ + 1^8
