TA

pour n ^> Ny,, /i' >Np quel que soit 3 dans G' et sur G', et quel que soil h > <>. Geci suffit à prouver que lorsque p et n grandissent indéfiniment, S,", (3) tend vers une limite, uniformément dans C'.

Ere . 1 1 j 7 ■ > M L ^ r.

n eiiet, yi étant donne, on pourra prendre 26=-j — — -ô=j

dans les inégalités précédentes (12) et (i3) : dès lors, 1" lorsque

la diagonale du quadrillage de subdivision sera <[ — rv-r > et cela

sera dès que p sera supérieur à une certaine limite p {y\)\ 20 lorsque n aura été choisi tel que l'on ait dans (8)

|Pf-Sg*i(*f) <•=?,

et cela sera dès que n ^>N/;(rj [Np^ ne dépendant que de 7|], on pourra conclure que dans (1 3 t. quel que soit p >/?("'») et h ^> o, on a pour n et n' > \, r

|SS.*A«(*;-s«+,(*)l<i>

uniformémenl dans C1, et ceci esl la condition de Cauchy exprimant que Sj(,s) a une limite S (s) pour n et /j = 00, uniformément atteinte dans G'. Il est visible que 2{s^) = Py quel que

soit 7.

// r\/ donc établi que Von peut extraire de la suite initiale bornée (5) une suite 'parfaitement déterminée I il en existera en général une infinité l qui converge rets une fonction holomorphe

dans G.

M. Monte! appelle suite normale dans C une suite de fonctions holomorphes dans C, telle que de toute suite infinie contenue dans la suite donnée on puisse extraire une suite convergeanl uniformément vers une fonction bolomorphe dans C, ou vers l'infini. On peut donc dire qu'une suite bornée est normale.

19. Supposons maintenant que lu suite des S,;ir) ait une limite pour n « lorsque s est en un des points •/,. x%

Ûty, . . . en nombre infini '. ayant un point limite I au moins dans

ï^2 CIIAPITKF. V

l'aire limitée par G. On va prouve?' que Sn(z) converge uniformément vers une limite dans toute aire h! intérieure à C.

En effet, dans la démonstration précédente, nous sommes partis d'un point z0 quelconque dans G et nous avons pris une valeur limite P0 de la suite S,(^0)? $2(^0)5 • • ••> S„ (zo)i •••• S'il y avait plusieurs valeurs limites pour cette suite, soit PJ, une autre de ces valeurs, en raisonnant sur PJ} comme sur P0, on aurait pu trouver une deuxième fonction limite S'(^); S(s0) = P0 et Z'(s0) = P'0. D ailleurs en tout a,, S„ (a/) n'a qu'une valeur limite par hypothèse quand n = 00^ par conséquent

Si donc S et S' n'étaient pas identiques, la différence S (z) — ?'(*)( holomorphe dans C, aurait dans C, au voisinage du point limite /, une infinité de zéros a/ et cela est impossible. Il faut donc que S et 2' soient identiques, mais cela est impossible si P0^P'0. De là, on conclut qu'en un point z0 quelconque intérieur à C, la suite S, (.g), S2(g), ..., Sn(s), ...n'a qu'une valeur limite, cette suite converge donc (et uniformément) vers la fonction S (z) holomorphe dans toute aire A' intérieure à C, le théorème est établi.

oO. La condition i°, que les | Sn(z) | restent bornés dans C, peut se remplacer sans difficulté par cette autre que les Sti(z) soient tels que | Su (z) — a\^> s quel que soit n [ e et a étant deux valeurs fixes] pour tout z intérieur à C, sans que la conclusion soit modifiée : il n'y aura qu'à substituer à la suite des Sn la suite bornée

des <rn =2 = holomorphes dans A, pour faire le raisonnement,

puis à revenir de la limite des <yn à celle des Sn. Nous verrons plus loin comment, sans changer la conclusion, M. Landau a pu remplacer la condition i° | S„ (z) \ <C M, par cette autre condition qu'il existe deux valeurs exceptionnelles au moins a et b telles que les équations Sn(z) — a et Sn(z) = b n'aient aucune racine dans G quel que soit n (voir Ghap. VIII, nos 24 et suivants).

51. Remarque. — Si une suite de fonctions holomorphes Sn (z) converge uniformément dans une aire A vers une fonction holomorphe S(s), et si S(s) n'est pas égale à la constante a, la

condition nécessaire et suffisante pour qu ^ en un point z0 de À on ait S(w0) = a est que, à partir cV un certain rang, les fonctions Sn(z) prennent toutes la valeur a au voisinage de z.

Ceci veut dire que dans un cercle de centre z0, de rayon arbitraire, les fonctions S„(-) prendront toutes la valeur a à partir d'un certain rang.

En effet, S(,s) n'étant pas identique à a, on peut trouver un cercle G de centre z0, où z0 soit la seule racine de S (z) — a = o, et Ton peut choisir N assez grand pour que n ^> N entraîne

— È-. <^ 1 sur la circonterence de d.

Les équations

et

S(z) — a -\- Sn(z) — Sf(«) = Sn( z) — a = o

ont dans C le même nombre de racines ('), ce qui veut dire que les Sn(s) pour n ^> N prennent au moins une fois la valeur a dans C.

Réciproquement on verra facilement que si dans tout cercle de centre z0 les S„ (s), à partir d'un certain rang, prennent toutes la valeur «, S (z0) ne saurait différer de a.

Nous concluons de là que, si en un point z0, S(z0)= a et si les fonctions S„ (z)ne prennent pas la valeur a au voisinage de z0, la limite S(s) des Sn(z) est identique à la constante a.

(!) Si /(z) et g (z) sont deux fonctions holomorplirs dans C et sur C, cl -1

g ( z) sur C on a ^— — < 1, les équations f ( z) — <> et /< z) -h g (z) = o ont le nie nie f ( Z )

nombre de racines dans C. Ceci se voit en remarquant que la variation de

n f {z) ei de arg [f\ : z)] le long de C est la même en vertu de l'hjf

pothése. \<nr d'ailleurs le raisonnement de la (in du n° 21, Chapitre VI, el aussi

n° 25, Chapitre IX, du présent volume*

APPLICATIONS DES THÉORÈMES GENERAUX DE CAUCHY SUR LES FONCTIONS D'UNE VARIABLE COMPLEXE.

I. — Recherches de quelques intégrales définies. Développement en séries de fractions rationnelles.

1. Cauchy a donné de nombreux exemples de recherches d'intégrales définies effectuées à l'aide de ses théorèmes généraux, particulièrement du théorème sur les résidus.

Prenons tout d'abord le cas très simple de l'intégrale

P et Q désignant des polynômes. On sait que cette intégrale aura un sens si le polynôme Q (a?) n'a pas de racines réelles, et si le degré de P est inférieur d'au moins deux unités à celui de Q.

Dans le plan de la variable complexe z = x -\-yi-, considérons la partie supérieure correspondant ày >o, et traçons dans ce demiplan une demi-circonférence de très grand rayon / ayant l'origine pour centre. Cette demi-circonférence, avec son diamètre, limite une certaine aire; nous pouvons appliquer le théorème des ré-

sidus à l'intégrale

on a ainsi

J t Q(*) Jc Q(f) 2R désignant la somme des résidus relatifs aux différents pôles de

v contenus dans la partie supérieure du plan. Or, quand /

augmente indéfiniment, la seconde de ces intégrales tend vers zéro, puisque, en posante == pe9'\ le degré de P(-) dz en p est inférieur d'au moins une unité à celui de Q (z). On aura donc

?{x) dx = iiiz^K

QO)

P ( z ) il suffira de calculer les résidus de 7^-7 — correspondant aux différents

pôles situés au-dessus de O x.

Voici un second exemple tout aussi élémentaire. Soit à calculer l'intégrale

f(sinx, cosx)dx, o

/étant une fonction rationnelle de sin# et cosjc. Si l'on remplace sin# et cos# par leurs valeurs

exi — e-xi exi +. e-xi

sina: = ■ > cosar =

Il 2

et si l'on pose

exi— z,

on aura l'intégrale

F(z)dz,

V (z) étant une certaine fonction rationnelle de z. Quand x varie de o à 2-, le point z décrit la circonférence de rayon un; l'intégrale précédente doit donc être effectuée le long du cercle de rayon un. On aura sa valeur en appliquant le théorème des résidus.

Soit, par exemple, à calculer par cette méthode

dx

msx -+- a

>ix

En posant cos x sa — — el elx sa z% elle; se réduit à

Des deux racines de z2-\- 2 az -\- 1 , une seule z = — a-\- s] a? — 1 est comprise à l'intérieur du cercle C de rayon égal à un, et le résidu correspondant à cette racine est

d'où l'on conclut

a y/as

dx

'' 1 )Ja} — 1 J s/a*— 1

2. Les intégrales précédentes se calculent de suite par des méf tliodes élémentaires. Voici d'autres cas où la recherche directe de l'intégrale est plus difficile.

Prenons l'intégrale

dx.

que nous avons déjà étudiée (t. I, p. 44)»' On peut la remplacer par l'intégrale

sina?

dx,

dont la valeur est évidemment double.

Or, considérons l'intégrale

eiz dz

effectuée le long du contour suivant. On trace dans le demi-plan supérieur un demi-cercle y d'un très petit rayon OB et un demi-

cercle T d'un très grand rayon OA {fi g. 21). On intègre le long du contour formé par A'B' le demi-cercle y, la droite AB et le demi-cercle T. Cette intégrale est nulle, puisque la fonction — est

APPLICATIONS DES THÉORÈMES DE CAUCHY. i~j

continue à l'intérieur de l'aire. Quand le rayon de Y augmente indéfiniment, l'intégrale correspondante à ce demi-cercle tend vers zéro, car, en posant

z = R(cos6 -+- i sin0), on a

f eiz dz r71 r71

/ = / e'R(cosO + isin6)j dft = / e-RiinôeiRcosQi^Q

et l'on voit que l'intégrale est nulle pour R = oc, puisque sin 9 > o. Prenons maintenant l'intégrale le long du demi-cercle y. On

aura

JC eiz dz r ° ' = / e~R sin fJ e' R cos 0 i db , Y z J-k

et pour R = o, cette intégrale sera égale à — -i.

Jl reste les intégrales le long de A'B' et le long de BA : les parties réelles se détruisent. Finalement on obtient, en passant à la limite,

is\nx

dx — - i = o,

d'où se conclut

s i n x dx

Soit encore à calculer l'intégrale

dx (m > o, a > o),

îgr x sin mx

a?aH- w

({in est une généralisation de la précédente.

On va considérer l'intégrale

z e"izi .

-i :dz

effectuée le long du périmètre d'un demi-cercle tracé dans ledemiplan. On voit, comme plus haut, que l'intégrale le long de la demi-circonférence tend vers zéro quand le rayon augmente indéfiniment, et il reste comme valeur de l'intégrale le longdu contour