VU AKI>. — II

D'autre part, dans le demi-plan supérieur, existe le seul pôle z = ai. dont le résidu est

On a donc la formule

— e — rna.

— — dx == 71 e~ma,

qui, pour a = o, donne le résultat du paragraphe précédent.

4. L'intégration de la fonction e~z% le long d'un contour convi nable conduit à des résultats intéressants.

Fig. 22.

Menons (fig- 22) au-dessus de l'axe des x la demi-droite OB,

faisant avec Ox un angle a inférieur à -t et décrivons avec un

/\ rayon OA Tare de cercle AB. On a

l'intégration étant faite le long de OABO. Or, quand le rayon du

cercle augmente indéfiniment, l'intégrale le long de AB tend vers

zéro; en effet, en posant

z = R(cos6 -+- z'sinO),

cette intégrale prend la forme

/ Rg-R'cosaôg-R'i'sinaôJeÔtrfO;

or le produit

R e— R2cos2 9

APPLICATIONS DES THEOREMES DE CAUCIIY. IJ9

0 variant de o à a, (a <C 7J* ten(^ vers z^r0 ^uand R augmente indéfiniment. On aura donc

e~xi dx = / e;;" <a?2 ;

dans la première intégrale x va de o à 00 sur Taxe réel, dans la seconde z va de o à -oo en suivant la demi-droile OB. Or, le

premier membre est égal (t. I, p. i2;5) à -\/ïz : par suite on a

[ c-p*(cosa*+isiafca)(cosa j { sina) do = -y/ït.

Cette relation, qu'on peut mettre sous la forme (2) / e Picos2a[cosi p2 gin 2 a) — t sin(p2 sin 2a) ] (cosa-Msina) dp = - ç/Ç,

fait connaître les valeurs des deux intégrales

J/y oo /-» ae

f c-P*cosaacos(p*sin2a)fl?p, / e-P!c08tasin(p»siii2a)rfp :

je ne m'arrête pas à les écrire. Le cas le plus intéressant est le cas limite de ol = -/; a priori il n'est pas rigoureux de faire

directement dans la formule (2) a=r-^5 celte formule n'ayanl

été établie que pour a <^ - > puisque pour 0 == - l'expression (1)

ne tend pas vers zéro pour 11 infiniment grand.

Le résultat est cependant exact, et la raison en est que l<*s deux intégrales (3) sont des fonctions continues de a quand a est inférieur ou égala -,- C'est ce que Ton peut établir en considérant la courbe

p = e- r" ,(,s 2a - i ri ( x* si 11 2 a )

qui se compose d'une infinité «le branches alternativement au-dessus et au-dessous de O./. <!<• sorte que La seconde des intégrales se trouve représentée par une série à termes alternativement positifs et négatifs : c'est ce que nous ;i\i«>ns <!<• j.i vu (t. I. p. 38)

pour le cas de a • Or l<- reste, dans une t < • 1 1 « * série, est moindre

IHO CHAPITRE VI.

en valeur absolue que le dernier terme conservé et ce terme est évidemment une fonction continue de a, pour a inférieur ou égal

à -- Par suite, la série est elle-même une fonction continue de a

dans les mêmes conditions. On raisonnerait de même pour la première des intégrales (3).

Faisons donc a == -j dans la formule (2) : il vient ainsi

/ cosa?2 dx = / sina?2 dx = - i / - • ^0 J„ 2V *

5. Une application d'un caractère plus général du théorème des résidus nous sera fournie par la méthode de Cauchj pour le développement d une fonction en une somme d' une infinité de termes rationnels.

Soit f (z) une fonction uniforme dans toute l'étendue du plan, et n'ayant pour points singuliers que des pôles. On considère un contour fermé G, qui va s'étendre indéfiniment dans tous les sens. L'intégrale