OC

au premier terme : l'intégrale (4) pourra s'écrire sous la forme

2. /V<LW£ f

rfs,

£ tendant vers zéro quand | z \ augmente indéfiniment, et finalement on aura l'égalité

(5) /(*)=-!. fm*,-^,)** r^y y*.

le signe N exprimant la somme des résidus K (a?), relatifs aux

pôles contenus dans C.

Supposons maintenant que l'on puisse étendre indéfiniment le contour C dans tous les sens, de façon que, sur les contours successifs

le module /( z) reste toujours moindre qu'un nombre fixe M. Dans ces conditions, la deuxième intégrale, dans le second membre de (5), tend nécessairement vers zéro quand on prend un contour C« suffisamment grand. Il suffît, en effet, de supposer, comme il arrive en général, que la longueur Sfl du contour Cn soit du même ordre que la distance minima R,t de l'origine au contour; le module. du terme considéré esl alors moindre «pie

J*| vis„

( >i . — - restant fini par hypothèse, ce terme tend vers zéro avec -•

I Oi n

Deux cas pourront alors se présenter! Supposons, en premier lieu, que l'intégrale

ait une Limite; 1 e sera une constante \ qui ne dépendra pas <lr / . et 1 on aura, moyennant ces diverses hypothèses,

Les termes R sont en général en nombre infini; Tordre dans lequel ils sont écrits est déterminé par la succession des contours C,, C2, . . • , C;;, .... On obtient donc, de cette manière, le développement de f(x) en une somme d'une infinité de termes rationnels.

En second lieu, il se peut que l'intégrale

dz

n'ait pas de limite : la série 2R(#) est alors certainement divergente. Dans ce cas, on peut encore représenter /(a?) par une série convergente, mais à la condition de retrancher de chaque terme de la série divergente SR(^) une constante convenable.

Pour le montrer, supposons d'abord que le point x = o soit un point ordinaire de f(x). L'égalité (5) donne, en faisant x = o,

et, en passant à la limite,

(6) /(^)=/(o)~2lR(f)~Ri(Q)].

Les R(o) ont une valeur finie puisque le point z = o est un point ordinaire. La série qui forme le second membre est convergente.

Si le point z = o était un pôle, en sorte que, dans l'entourage de ce point, on ait

Bm Bi

il suffirait, dans les calculs précédents, de substituer à f {z) la

fonction

6. Le raisonnement que nous venons de faire repose sur ce que

APPLICATIONS DES THEOREMKS DE CAUCHY. l83

le module de f (z) reste toujours inférieur à un nombre fixe M sur les contours successifs Gt, . . .. Cn. Il se peut que cette condition, n'étant pas satisfaite poury(^), puisse V être pour— ^—-

Nous effectuerons alors le développement de jusqu'au terme

en • d'où l'égalité

(7) /(*)= r- / J-r-^+Vrz / %*<** + >-