TZ J Z 7 1 4. J

+ ^ rmd,+*xi r ■£LniL±D d2 -y K(x).

Nous supposons d'ailleurs que z — O n'est pas un pôle de /( z). Or considérons lune des intégrales

-7- / ^-j-dz (k^p->r 1).

Elle est égale à la somme des résidus r* de la fonction — -r- j relatifs

aux pôles de /(.s) contenus dans le contour Cn et au point 5=0; en sorte que l'on a

J f ûlLdz - l />*-*> -f-V /-z

a^X s* rf~~ i.-2...Â-/:o' +2/*'

Réunissant ensemble tous les résidus relatifs au même pôle, L'égalité | 7) se transformée ainsi dans la suivante

c„ d où l'on conclut

**+« f /(Z)(l-ht)tf lir. J, zv+*

En passant à la limite, l'intégrale qui entre dans le second membre tend nécessairement vers zéro, et l'on a

JiO)

— lim 2, [R(#) — r\ — r*x — • • • — fp+i&p]'

7. Un cas intéressant à considérer est celui où F (s), désignant une fonction uniforme et continue dans tout le plan, dont les racines rangées par ordre de module sont

a\i aïi

5 Clni)

on pose

avec l'hypothèse

— -. <[ M, sur les contours successifs Cn.

zP I

Supposons, en outre, pour plus de simplicité, que les racines soient simples et que le point z = o n'en fasse pas partie.

Le résidu de relatif au pôle a,n est > celui de - — ~

z — x l a/n — x zk

est ~r et l'on trouve, en appliquant la formule (8),

F(I)-/i«)+...+ ^)+...+T£/i/ffi

- lim

n = oo-

Cl/n — X Ct>m &

d'où, en intégrant entre les limites o et x, et en posant a* = />

apxP+l

+ V[,og(,-

ci,n) a,n 1 \am

/ x y+ii

i \am) J

et, en prenant les exponentielles.