CL„TP

F(ir) = F(o)c 2 /J+1

Nous obtenons ainsi la décomposition de F (a?) en facteurs pri-

APPLICATIONS DES THÉORÈMES DE CAL'CIIV. l85

maires dans le cas particulier où cette fonction satisfait à la condition

F (z)zP

sur les contours C„, et cette méthode nous donne en même temps la fonction II {z) dont il a été parlé dans le Chapitre précédent (§ 38). On voit que l'on obtient ainsi la décomposition de la fonction en facteurs primaires. A la vérité, nous avons dû faire une hypothèse très particulière sur F (a?), mais nous avons l'avantage de déterminer le facteur exponentiel qui reste inconnu dans la théorie de M. AN eierstrass.

8. Bornons-nous, comme application, au développement de la fonction cotz. Cette fonction a une infinité de pôles simples, donnés par la formule

z =s Ml

et qui sont les racines de sin z. On va prendre comme contour d'intégration Cn un carré tel que BCB'C {fi g» 23) dont le centre

Fig. 23.

■27tA'

«■Tt

oc

est à l'origine, et dont les cotes, parallèles aux axes, onl pour demilongueur

OA = n- -h - = a„.

de telle sorte qu'aucun pôle ne v<' trouve sur ce contour. Cela posé, le carré du module de col z est

e*ï + r5.v+ i coa a r e*ï -c *y — *2 C0S22

(*r= j?-|- tj).

Sur les côtés GB et C'B, on a cos ix = — i : le module est donc toujours inférieur à un.

Sur les côtés BB' et C'C ce module est inférieur à

Cette expression reste finie, lorsque y augmente indéfiniment.

Donc cot£ satisfait bien à la condition que nous avons imposée kf(z); son module reste sur le contour C„ moindre qu'un nombre fixe M, quelque grand que soit /?.

A T , • i i cot Z I

• Le résidu de - - pour z — niz est , et par suite on a

nu

R(ar)==

rnz

Or la série > est divergente. Nous devons donc employer

le second procédé de calcul, et, comme le point z = o est un pôle simple, nous substituerons à la fonction cotz la fonction

<I>(3) = COt ,3 ,

qui admet les mêmes pôles, sauf z = o. Les résidus de cette fonction sont encore donnés par la formule (9), en supprimant n = o. Finalement, en appliquant la relation (6), on trouve

cot X —

um y

OU

cot X

X Âmd \x 11 7T n 71

Du développement précédent on peut déduire la formule de décomposition de sin# en facteurs primaires. On a en effet

d sinx yry [~ d

dx °S x ~ 2u \dx °g

(x — niz)

d dx

Multipliant les deux membres de cette égalité par dx, et intégrant de o à #, on trouve

sin x x"i T, / x \ x 1

106 — =ZLlog(ï~~^/+™J'

d'où

sin x = x

et, en groupant deux à deux les facteurs correspondant à des valeurs de x égales et de signe contraire,

sin x = x I [i —

tl

Nous avons déjà obtenu cette formule, mais affectée d'un facteur e}hr) (Ghap. V, § 38) qui était resté indéterminé.

II. — Méthode de Cauchy pour obtenir la série de Fourier et des séries analogues.

9. Une des applications les plus remarquables que Cauchy ait faites du calcul des résidus est relative à certaines séries comprenant en particulier la série de Fourier. Nous allons traiter avec quelques détails de cette belle méthode (').

Soit S' (z) une fonction analytique ayant, à l'intérieur d'un cercle de centre O et de rayon r, un certain nombre de pôles; on aura

<io) -U f £(z)dz = IH,

ÏT.l J

l'intégrale étant prise le long du cercle et la sommation du second membre s Ytendaul aux résidus R des pôles situés dans le cercle.

Vax posant

z= reï'\

.alité (io) s'écrit

— /• / iirex' )cr< rfœ -XH.

(') On trouvera plusieun Mémoires but ce mjel dans le Tome VII ( >~ scnri fies CEuvrei compléta de Cauchy; \<>ii partit ulii reinenl : Sur les résidus de* /onctions exprimées par des intégrales définie* < p. 3o3). Nous iront cherché à comblf-r (Quelques lacunes dam les démonstration! <J<% l'illustre géomètre.

l88 CHAPITRE VI.

qui peut encore prendre la forme

— / £(re¥)e¥ do-\ / £ (re9£) e¥ do = Z R,

ou, enfin, en changeant dans la seconde intégrale cp en cp 4-tz,

- / - [i(/-c?0 — £(— re?lj] e'iUlo = SR.

Ceci posé, attribuons à /• une suite de valeurs rf. r2, ..., rw, ••»? augmentant indéfiniment, et supposons que, n augmentant indéfiniment, le produit

(n) - [£(z) — £(—z)] ou - e¥[£(rneV) — £ (— rne¥)]

tende uniformément vers une limite F indépendante de cp, quand

cet argument est compris entre — - et -.» c'est-à-dire quand z

augmente indéfiniment, sa partie réelle n'étant pas négative. On en conclut