F = SR

le second membre étant une sommation indéfinie étendue aux résidus de tous les pôles de la fonction S (z).

On pourra, en particulier, appliquer la formule (12), si le produit z S [z) tend uniformément vers une limite fixe F indépendante de cp (variant de o à 2tï), auquel cas l'expression (11) aura précisément cette valeur F comme limite. On peut aussi supposer que les produits z £ {z) et ( — z) S {— z) tendent séparément et uniformément vers deux limites différentes quand z augmente indéfiniment, sa partie réelle n'étant pas négative.

Enfin la formule précédente (12) subsistera si l'on fait l'hypothèse que, pour un nombre limité de directions exceptionnelles cp0 de cp, l'expression (11) n'a pas F pour limite, pourvu que cette expression reste finie dans le voisinage de cp0. On pourra en effet isoler un certain nombre d'intervalles angulaires (cp0 — e, cp0 -+- e), £ étant aussi petit que l'on voudra : la part de ces intervalles, dans

l'intégration (10), tondant vers zéro avec e, la formule (12) subsistera.

La formule (12) subsistera encore pour la même raison si l'ensemble des valeurs exceptionnelles de :s0, pour lesquelles (1 1) n'a pas F pour limite (mais reste finie), est un ensemble infini pouvant être enfermé dans une série d'intervalles dont la longueur totale est arbitrairement petite, c'est-à-dire, suivant une locution déjà rencontrée dans la théorie des séries trigonométriques ('), si V ensemble des cp0 est de mesure nulle.

10. Appliquons les considérations générales qui précédent au cas où

JC ( z )

x étant un paramètre qui va être supposé réel; les fonctions à. et/ sont des fonctions holomorphes de z.

S'il existe ici une limite F, cette limite dépendra généralement de x] nous la désignerons par F(.r), et la formule (12) deviendra

(«3) Fr*)=2^/(X,*)5

la sommation dans le second membre étant étendue aux racines )>

de L'équation

C'est de la formule (i3) que Caucliv a déduit divers développements intéressants, en particulier le développement de Fourier. Nous allons approfondir les conditions dans lesquelles ces développements sont légitimes, en particularisant la fonction f\ z, x).

Nou> prenons pour /'1 5, / 1 la fonction

/< Z.X)=r J dlX, X>XQ;

f(\x) désigne une fonction d<- l.i variable réelle uià variation bornée dans un certain intervalle | ./•„. X\). Nous avons vu 1 t. I, p. 26 1 que tout* fonction /(ja) à variation bornée dans 1 r„. > r est La

fi Tome 1 «lu pi •'•-'•ut Outi »*r, par ex< 'n p i<- . le d 6 du Chapil re \.

différence de deux fonctions J\ et f2 bornées, positives et croissantes dans (x0 x {) :/({*) z=f\ ([*) — .Ad*) ou bien la différence de deux fonctions bornées négatives et décroissantes

Nous devons d'abord étudier l'expression (i i) qui devient ici

Il faut chercher la limite de cette expression, quand z augmente indéfiniment de telle manière que sa partie réelle ne soit pas négative et que son module reste dans la suite r^ r2, ..., rn, —

Supposons que —, tende, dans ces conditions, vers une li-

mite c, à l'exception peut-être seulement de certaines directions cp0

formant un ensemble de mesure nulle, pour lesquelles d'ailleurs le

quotient précédent aura un module inférieur à une quantité déter-

minée; ce que nous exprimons en disant que ~ ? a, en gênerai,

c pour limite. On suppose pareillement que

tend en général vers zéro.

Remarquons d'abord que le produit

z j e-z^V>-*J f (\l) dp dxt

reste fini. Il suffît évidemment de le montrer pour l'intégrale

dans laquelle on suppose que f (u.) varie dans le même sens, par exemple en décroissant, de x0 à x (*). Or, en posant

ze-'^-xJ = P + Qî,

(') Car, toute fonction à variation bornée étant ia différence de deux fonctions décroissantes, la démonstration s'étend aussitôt de deux fonctions décroissantes à leur différence.

APPLICATIONS DES THEOREMES DE CAUCHY. igi

nous avons à étudier les intégrales

J P/(|*)«*K et j Qf(u.)du..

Bornons-nous à la première; elle peut s'écrire, d'après le second théorème de la moyenne (t. I, p. 9)

P dp (o<Tt<x — x0)

Or l'intégrale figurant dans ce produit est la partie réelle de

1 ze-z{V--x*] d\x = 1 — e~zri ;

elle reste donc finie.

Ces diverses hypothèses faites, nous pouvons trouver la limite de l'expression (i4)- Le premier terme de cette expression peut

s'écrire

ÎLLfi e-Jx .r„) L z ! e~ V- *o) /Vu) du. ; il tendra donc vers zéro. Le second tend vers

cUmz I tr* x~V-]f{p) d[if

en supposant que cette dernière limite existe. Nous allons voir qu'il en est ainsi et qu'elle se réduit précisément à/(.r). Il est évident d'abord que

JP » — e r-*<*-l*'/<jx)dfx=so («>o),

qnnnrl 3 s'éloigne indéfiniment dans une autre direction (pie l'axe des j\ Nous pouvons donc nous borner à étudier L'intégrale

z f s-*i*-pf{ u.)dp; or elle peut s'écrire

(1$) /(*) f e-z*-> zd:i+ f ertit-Vl/ip) -/(*)] jrfu,

le premier terme se réduit à

Dans le second, on peut supposer, comme on l'a fait plus haut, que la différence