FO

comme f (\k) elle-même, varie toujours dans le même sens, et par exemple, qu'elle aille en décroissant quand p. variera de x — £ à x. Si nous posons

ze-z(x-\).) = p + Q^

l'intégrale que nous discutons ici devient

ou bien, d'après le second théorème de la moyenne,

[/(*-e) /(*)][ f P^ + * f QrfJ,

\ et £' étant compris entre a? — e et #. Or chacune des intégrales figurant dans la parenthèse a, quel que soit z, une valeur finie : ainsi la première est la partie réelle

/ ze-*{x~P d\x. — e~z&-v — e~ze,

expression finie, quel que soit £, sa partie réelle n'étant pas sup- .posée négative.

La quantité £ étant aussi petite que l'on veut, il en résulte que le second membre de ( 1 5 ) a zéro pour limite quand z augmente indéfiniment, et le premier a f {x) pour limite, si toutefois z ne s'éloigne pas à l'infini dans la direction de l'axe des y. Dans ce dernier cas, on ne peut pas affirmer que l'expression

/OC e-2{x-p f '(p) d\k

a y (a?) pour limite, mais seulement qu'elle reste finie, comme on le voit par un calcul analogue où l'on applique le théorème de la moyenne.

APPLICATIONS DES THEOREMES DE CAUCHY. ]Ç)i

En résumé, la fonction F (a?) du paragraphe précédent se réduit

in a

Les directions singulières appelées plus haut cp0, pour lesquelles il n'y a pas la limite F, sont ici — - et -A — -* mais nous sommes

dans les conditions où la formule (12) n'en sera pas moins applicable, comme il résulte de la remarque faite à la fin du paragraphe 9.

Nous avons donc la formule

la sommation dans le second membre étant étendue aux racines X de l'équation - (a) = o.

Si la fonction f (x) n'était pas continue pour la valeur considérée de j\ niais éprouvait, en passant par cette valeur, un saut brusque fini, il y aurait simplement à remplacer dans la conclusion précédente — - CJ (x) I)ar

j (x — o) désignant la limite des valeurs que prend la fonction quand la variable tend vers x en lui étant inférieure; c'est d'ailleurs la notation dont nous nous sommes servi jadis dans la théorie • le- séries trigonométriques.

11. La formule précédente ne conduit pas à un développement simple, les termes étant des fonctions compliquées de x. Nous .«lions établir une seconde formule, qui, jointe à la précédente, nous donnera an développement remarquable.

I).»ns la formule du paragraphe 10. posons

/(*,*) = f e*<* P /(ji -,l-, -it

Nous supposons que ^4 — r tend, en général, vers une limite G,

^ augmentant toujours indéfiniment dans les mêmes conditions. De plus, nous admettons que

tend, en général, vers zéro. Ces deux hypothèses sont parallèles à celles que nous avons faites au paragraphe 10. On établira encore, par des raisonnements entièrement analogues à ceux qui ont été employés plus haut, que

j, i c-*<*t-t*)/(.n) rff*

reste fini et que

tend vers y (a?), et l'on arrive alors à la formule

qui présente la plus grande analogie avec la formule (a).

Dans le cas où x serait un point de discontinuité, on aurait à ç remplacer ~f(x) par

12. Des formules (a) et ((3) nous allons déduire un nouveau développement. Supposons que

on aura nécessairement alors

en effet,

lim ~ — - = o,

tv(z)

APPLICATIONS DES THEOREMES DE CAUCHY. ig5

comme il résulte de l'hypothèse

h m }— — - e- x--rc = o.

Ainsi la quantité désignée par G doit être égale à l'unité. On voit de la même manière que c = i .

INous avons donc, en supposant x compris entre x0 et #,, les deux formules

Or

nous aurons, par suite, en retranchant,

développement remarquable dont les termes sont des exponentielles. Cette formule ne sera évidemment légitime que si les diverses hypothèses faites sur les fonctions à (s) et ~(z) sont vérifiées. N