Un exemple très intéressant est obtenu en faisant

- ( z ) = eaz — ï, <l(z) = — ï (a > o).

Les racines de l'équation

ea sont données par

2 k it ï , . . ... , , .

s = ( k entirr positif ou nepatif).

La succession des rayons /,. rSl .... r„. ... sera obtenue en

faisant

(in -f- 1) -rr r„ a ' n > o).

de telle sorte que les circonférences successives ne passeront pas

par \p^ pôles.

Nous devons d'abord constater que —, a une limite, qui, si

elle existe, doit être égale à l'unité. Or

u ( — z) e~az — i Par suite, en général,

Il m -1— = + [;

ÏC(— z)

bi s est sur 1 axe des quantités imaginaires, le quotient ~ r,

qui est infini pour les pôles z — , reste, au contraire, fini et

i>i , -, , ! ( 2 n -h i ) 7t i égal a -, quand on donne a z les valeurs — •

Il faut ensuite montrer que . { ez(^x~xo) a zéro pour limite. Or

*■ TT (z) r

cette expression se réduit à

ez(x—x0) e2{x—x0—a)

eaz — j Q-az — i

Si donc x <^ oc0 -\-a, ce quotient tend en général vers zéro; il reste fini pour la direction singulière de l'axe des quantités complexes, le point s restant, bien entendn, sur les circonférences de rayon rn.

11 faut encore vérifier les conditions relatives à la fonction v (z). Celle-ci est définie par l'égalité

et, par suite,

Nous aurons

X(z) eaz i

tz(z) ~~ eaz — i " " i — e~az

Sa limite sera donc un en général. De plus

Y ( — Z) , ez(xx-x-a) i±2 : qzkxx—x) — .

■k (— z) e~az — i

et sa limite sera en général zéro si

Xi — x — a < o ;

et, pour la direction de l'axe des quantités complexes, l'une et l'autre expressions précédentes resteront finies. Nous arrivons ici à la formule (y) qui devient ici

/(*) = 2 ~^~ J e fi*)**

sous la condition que

Xi — a < x <C x0 -+- a.

Prenons, en particulier,

Xq = o, X\ = a.

Nous aurons, pour x compris entre o et a,

^^ j tknix r ci 2 k tc / jj- /(#) = ^ âe~~"~ / !* « /(fO^K-

ft=-8 °

En réunissant les termes correspondant à des valeurs de k égales et de signes contraires, on obtient le développement

(16) f(x)=- J /(•xjdix-h 2j- I cos -—(x -;/)/(;/.) rf(x,

c'est-à-dire le développement en série de Fourier.

Dans le cas où, pour la valeur considérée de a?, la fonction y (r) serait discontinue, il suffît de se reporter aux deux développements d'où nous avons tiré la formule précédente pour voir que f(x) devra être remplacé par

/(x -+-o)-hf(x — o)

Remarquons encore (pie la validité de la série de Fourier est démontrée, par la méthode précédente, pour toute valeur de I comprise entre o el a, mais à l'exclusion de ces valeurs. On peut trouver facilement la valeur de la série pour x — o et x = a. C<msidérons la série I 16 > comme définissant une fonction dea?; ce - <lon<\ si l'on veut, notre fonction primitive /(a?), prolongée en dehors <l«- l'intervalle | o, a) d'une manière périodique, ^pi»»'

198 CHAPITRE vi.

Ions çp (x) la fonction représentée par la série : c'est une fonction avant a pour période. Pour x = o et x = a, elle n'a pour nous aucun sens; mais, d'après la définition même de ©, on a

Ceci posé, développons <p (a?) en série de Fourier, dans l'intervalle I j -f- - ); on aura