z)e~ "ea2(z + A) + e-aJ(^-/i

qui tend vers zéro, si x <^ x0 -\- 2a.

On vérifiera de même que les conditions requises sont remplies pour la fonction y (z). On a

•l(—z) , , g^-alZ-i + A)

t:(— ^ " e~"z(— z-h h) — (z -h h) ea* '

la limite sera zéro si

X\ — x — 2«<o ou .r>ari — 2 a.

Ceci posé, nous avons à étudier l'équation k(z) = o. Il est d'abord manifeste que cette équation ne peut avoir des racines réelles, sauf z = o, car

z(eaz-\- e~az) et eaz — e~az

sont de mêmes signes quand ^ est réel, et d'autre part h est positif.

Je dis que toutes les racines de l'équation sont de la forme z = )./, X étant réel.

Pour le voir posons, dans cette équation, az = x 4- iy. En séparant les parties réelles et les parties imaginaires on obtient les deux équations

k.r<e' -+- e~x) -h ( ex — e~x ) (i — ky tang y) = 0 \ kx(t - e~x ) -+- ( ex -+- e~x )(h — — ) =o I

Pour x 9^ o, les rapports kx > kx sont positifs :

il ex — e-x ex -+- e~x r

par >uitc ky tang y et — *■ — seraient de signes contraires, ce qui

est impossible. Il faut donc faire x^o; l.i première équation est alors satisfaite quel que ^oity, et la seconde se réduit à l'équation

ky -+- tang y s

Il est d'ailleurs très ;«■><' <1<' montrer que eette équation I une infinité de racines réelles. Il suffit pour cela <!<• construire lesdeui

î' + r^ln — ) =o| \ 'ah'

courbes

x = tangj^. x = — ky\

el Ton voit de suile qu'elles ont une infinité de points de rencontre. En définitive, l'équation tc (z) = o a une infinité de racines de la forme z == Al, \ étant réel; en faisant cette substitution, l'équation devient

(18) a cos(rtÀ) -+- h sin (ak) = o.

On a

, ,,. r/ lx .. . . . , sin'iaA — ia\

n (Ai) = i\(i-\- an) cosah — ÀasinaÀ = : r ,

sinaA

d'où, par suite, le développement

la sommation étant étendne aux racines de l'équation (18).

En groupant les valeurs de A égales et de signe contraire, il vient

/(*')= , H ,N f'f(ix)dix y ' 2 i + a^J, • vrv r

H-\ : / f ( \x) cos\ (x — p) d[k,

jLd 2 al — sin lah J J l ' '

la sommation s'étendant seulement aux valeurs positives de A. Si, en particulier, on prend x0 = — a, xs = -f- cl-, on aura le développement d'une fonction/ (#) définie entre — a et -j- a.

15. Il ne sera pas sans intérêt d'indiquer dans quel problème Fourier a rencontré pour la première fois le développement précédent, mais sans traiter rigoureusement de sa convergence, comme permet de le faire la méthode de Cauchj. Partons de ce résultat fondamental, dû à l'illustre auteur, que, dans un corps isotrope, l'équation à laquelle satisfait la température V d'un point est

, . à\ , /(PV d>\ d*\

(19) -rr = *

àt \ dx* dy'1 àz*

k étant une constante. Supposons que l'on ait un solide terminé par une surface S; on donne l'état calorifique initial du solide

pour t = o, c'est-à-dire la valeur de la fonction V(x, y, *, f) pour t = o. De plus, nous avons une condition à la surface, en écrivant que la loi de la déperdition à la surface est la loi de Newton ; si l'on suppose que le milieu ambiant soit à la température zéro, cette condition, qui doit être vérifiée pour toute valeur de l, peut s'écrire

— +AV = o (A>o),

-^ désignant la dérivée de V dans le sens de la normale extérieure à la surface S (»). Prenons maintenant le cas particulier d'une sphère de rayon R, ayant son centre à l'origine, et supposons que la température soit fonction seulement de t et de r

/ (r = sj 'x* -4- j2 h- z*) .

L'équation (19) se réduit alors à

àt \ dr* r dr / '

et la condition à la surface devient

dX (2]) d~JÏ ~*~ h^ ^~~ " (pourr=R),

et cela quel que soit t. Nous avons, d'autre part, pour t = o, la donnée

relative à l'état initial ; F(r) est une fonction arbitrairement donnée

de r = o à r = R.

L'équation 1 simplifie immédiatement, si l'on pose

on a alors, pour y, l'équation

dt ' or* '

(') Voir PooaiiB, Théorie analytique de la ehaUur [ÛSuvrot de Fouritr

publiée! par les soins de M. <.. D&rbotll ).

Fourier commence par chercher ce qu'il appelle une solution simple de cette équation. En posant

y = emt u,

a étant une fonction de r, l'équation devient

, d*u mu = k -=-~ '

En posant alors m = — kn2, n étant une constante arbitraire, on obtient la solution

y = e~kn^' ( A cos nr -t- B sin nr) et, par suite,

V = ( A cos nr -+- B sin nr ).

Gomme nous voulons avoir une solution restant finie à l'intérieur de la sphère, nous devons prendre seulement la solution

, sin nr

y -— ç—kn?!. .

La constante n jusqu'ici est arbitraire; mais, si nous voulons que cette solution particulière satisfasse à l'équation à la surface, nous

aurons

nr cos nr -f- (hr — i) sin nr = o pour r = R

ou

(23) tang/iR-f- — = o.

Ai K — i

Nous allons supposer, pour ne pas avoir à sortir du cas examiné

plus haut, que hK — i est positif; nK satisfait à une équation

transcendante de la nature de celle que nous avons étudiée. Soient

/i,, n2, ... les valeurs de n en nombre infini satisfaisant à cette

condition, la série

. s'mnir , „,sinn2r

A, e-knV h A2 e-'^h1 h . . . ,

si elle est convergente, satisfera à l'équation (20) et à la condition limite (21). On voit quel problème fort intéressant se pose alors : peut-on déterminer les coefficients A, de façon que la série

APPLICATIONS DES THÉORÈMES DE CAUCHT. 2o3

converge et représente F(r) pour t — o, c'est-à-dire soit telle que {i.\) r F(r) =A1 sin/if r -+- \.2sin/i2r + . . ..

11 s'agit donc du développement d'une fonction définie entre o et R en une série procédant suivant des sinus dont les arguments sont de la forme nx, les x étant racines d'une équation transcendante. Or, si nous considérons une fonction o(r) définie de — R à -(- R, égale à /'F(r) de o à R et prenant de o à — R des valeurs égales et de signes contraires, on peut développer ©I r), en série de la forme (paragraphe précédent)

la sommation étant étendue aux racines positives de l'équation

la n g K À H- 35 =0,

équation qui coïncidera avec (2.3) si l'on pose -rr = r-^

D'ailleurs, d'après la définition même de cp (/•), le développement de cette fonction ne renfermera que des termes en sinus, les termes en cosinus ayant des coefficients nuls. Nous obtiendrons donc ainsi le développement (24) dont nous avons besoin, et la solution du problème est donnée par la formule

les n étant les racines positives de l'équation (2.3). 16. Reprenons la formule (y) du n° 1*2

(T) | £[/<* -o» /<*-•>] —2^^^ C c MJ/{ix)dyL

Elle est Valable pour 1 , £ Xx. Maison peut obtenir une lot

mule du même genre valable aussi pour x = r{) el r = #,.

Dans deux Notes des Comptes rendus {?.- novembre i<)i i et > janvier 191a . M, André Léauté u (ait sur ce sujet des remarques

très intéressantes. Il introduit d'abord la notion d'intervalle limite, en supposant que, z étant toujours dans les mêmes conditions, on ait

«<(*) JC(— jj)

/et L étant deux constantes finies. Dans ces conditions, la série qui forme le second membre de (y) est égale à

f{xx — o) — //Qo-H-o) (pour 3: = ^,), ,

et égale à

J- - - (pour ar = rr0).

M. André Léauté a ensuite donné une autre forme à la série de Cauchy, dans le cas où f(x) a une dérivée f (#). Pour plus de simplicité, supposons quet/(^) et f1 {oc) sont continues de^oà^c,. Considérons l'intégrale

(H) —. f^r\ f 'e^Vfi^diidz

prise le long de la circonférence de rajon r,t. En supposant d'abord 7î(o) 7^ o, elle est égale à

Il est facile de voir que n augmentant indéfiniment, l'intégrale (H)

devient

et l'on obtient ainsi la formule

la sommation étant toujours étendue aux racines À de k(z).

Dans le cas oùX == o est une racine de tc(z), on a, par une analyse analogue, la formule (Yi) f^)=f(xi}-i-x^l[f(xx)-f{œQ))

la sommation étant étendue aux racines de k(z) (X = o exclu), et J étant une constante égale à

A-iigrv/'^,

où A est le résidu pour z = o, de l'expression

ZTZ(z)

Voici la circonstance intéressante que présentent les formules (y <)

et (72) :

Tandis que la formule ( 1 ) de Cauchy n'était pas valable pour les extrémités xQ et #,, la formule (y,) ou la formule (y2) restent valables pour x = x0 et pour x = xK .

Ce résultat est donné par l'analyse même qui a conduil aux formules (y,) ou (y2),

M. En comparant directement les formules (y,) ou (ya) à la formule (y), on est conduit à des identités assez curieuses ne renfermant aucune fonction arbitraire; c'est ce que je vais indiquer rapidement (4).

Supposons d'abord que n(z) ne s'annule pas pour 3 = 0. En intégrant par parties les intégrales figurant dans (y2) et en se servant de (y), on a une équation où f(x{) etf(x0) entrent d'une manière linéaire et homogène. Gomme ces valeurs sont arbitraires, On en déduit les deux identités

Xir'(X) r(o)'

ZdX-'a,) -(<>>'

formules qui s<»ni valables pour x entre «rfl et a?,, à V exclusion des

(') Voir u\a \o\r dans les Comptes rendu* de V icadémiê d< 1 s(,,„,r.t (17 piin K(i3j, et, dans le Bulletin dei Science* mathématique* 1 •" série, 1 mai i<ji3), mon article « Sur N-s développements <ic Cam hj en séries d'exponen tiellei el sui certaines identités remarquables ».

extrémités. On en conclut par soustraction

développement remarquable en série d'exponentielles, qui est valable pour toute valeur de x comprise entre xQ et x{ , à l'exclusion des extrémités. Il est aisé de montrer, par la même analyse, que ce dévc-

i , i . y(o) — Ld<(o) , /y(o) — <Wo) loppement est égal a - — JJ^~ pour x = ^0 et a -^ — - — —

pour ^7 = ^,. On a donc explicitement une série d'exponentielles, nulle pour toute valeur de x entre x0 etxK, et différente en général de zéro aux extrémités de cet intervalle.

Passons au cas où zéro est racine simple de tz(z). On est conduit, par une analyse analogue, aux formules

<WX) . , 4 ^(o) ù(o)

Xir'(X) lw'(o) iç'(o)

(À) °ir'(o) t:'(o)

la sommation étant étendue aux racines deir(,s) (X = o exclu). Ces formules, valables entre x0 et x,, ne sont pas valables aux extrémités. On en conclut

(82) (Xo-xO^^^^^}(e-^-e-^o)e^=i Oo<><*i).

Le premier membre de Véquatioa (ô2) forme donc un développement en série d] exponentielles , qui est égal à un pour x compris entre x0 et xK ; il est égal à pour x =. xK et égal

à pour x =t x0J comme le montre un calcul analogue.

18. Indiquons deux exemples très simples. Tout d'abord la série de Fourier correspond, comme on l'a vu, à

t.(z) = eaz— î, ^(z)= — 1 (a>o).

^ î • • 1 , (an+i)ir r On peut prendre ici comme rayon rn la valeur J&n

prenant l'intervalle de zéro à a, on a

Il y a une racine nulle pour it(s); les formules (8«) se réduisent au développement trigonométrique de x, et les termes du premier membre de (82) sont tous nuls, sauf le premier terme qui est bien égal à un.

Prenons en second lieu

-( z) = z(eaz-h e~uz)-+- h(eaz— e~az) ' '

•l( z) = e-az(z — h 1

On prendra x0 = — a, xK =+«• On peut poser rn = — et

l'on a l = L= 1. Les racines de7r(s) sont de la forme z = \xi, les u étant réels et racines de l'équation

(25) Ung|H-^j=o.

C'est l'équation qui s'est présentée à Fourier dans le problème du refroidissement d'une sphère. L'équation (82) fait connaître une expression de la forme

T,kncos\inx -+■ B„ s\nij.nx,

les A et B étant des constantes faciles à calculer et la sommation étant étendue à toutes les racines positives u.n de l'équation { (zéro compris). Cette expression esl égale à un pour toutes les valeurs de x entre — a et -h a, et égale à zéro pour x = ±a. On en déduil immédiatement une expression de même forme prenant l;i valeur zéro pour toutes les \;deurs de x entre — a et H-a el la valeur //// pour r — ± a.

I omme nous pouvons remplacer x par a?-f-C, C étant une constante, nous pouvons encore dire que l'on peut trouver un développement de La forme | >\\ i, qui est égal à zéro pour toutes

les relieurs de X comprises entre zéro et 2(1, et qui, pour .r = q

et r — a a, est égal à un.

19. Le problème du refroidissejnent du mur conduit aussi, «Lue un cas particulier, à l'équation I a5 On sail que ce problèm< celui de l'intégration de l'équation

avec les conditions V =/(#), pour t = o, et àV

// V = o ( pour x = a, quel que soit t ),

-t h HV = o ( pour x = b. quel que soit t).

On a a <C b; g, C, A et H sont des constantes positives. Posons ^ = A2. En cherchant une solution de la forme

on trouve ensuite

dx* d'où

y = M cosA"x -+- N sinÂ\r.

En substituant dans les équations (27), on a deux équations en M et N. Par l'élimination de ces quantités, il vient

k\ — k sin kl ■+- H cosÀ/] -+- h[k coskl -4- H sin kl] = o (on fait a = o, b = l).

Ainsi A" satisfait à l'équation

tang(£/)[HA — #*] -h (H -h h) k = o.

Sans étudier cette équation au point de vue spécial qui m'occupe ici, je me borne au cas de h — 00.

Le cas particulier h = 00 (c'est-à-dire V = o pour x = a) donne l'équation

(28) tang(*Z)+ g =0

qui, aux notations près, est l'équation (25). L'application de la méthode de Gauchy conduit à développer la fonction donnée f(x) (que nous supposons continue) sous la forme

S N sin kx,

les k étant les racines positives de l'équation (28). Nous groupons ainsi les termes deux à deux, et l'intervalle à envisager est ici ( — /, -f- l). La fonction f(x) est définie seulement entre o et L

Nous développons alors la fonction F ( x) définie par

F(^r)= /(x) (deoà/),

F(a?)= — /(— x) (deoà— /).

Il j aura, en général, discontinuité pour 'x = o [à moins que fi o) =0]. Nous en déduisons le développement

(29) f{x) = S ~S n s\n(knx) (entre 0 et l).

On vérifie facilement que ce développement est valable pour 4? = / (en appliquant les formules du paragraphe 16 donnant les valeurs en x0 et xK ), mais il n'est pas valable en général pour x = o. Il serait facile d'obtenir pour/(x) un développement de la forme (26)

f(x) = IA„ cos(knar) -+- B„ s\n(knœ)

valable entre o et /, les valeurs extrêmes comprises; il suffirai» d'ajouter au second membre de (29) le développement, indique à la (in du paragraphe précédent, multiplié par /'(o).

III. — Nombre des racines d'une équation contenues dans un contour. Théorie des indices.

20. Nous ferons encore une application du théorème des résidu-, en recherchant le nombre des racines dune équation

contenues dans un contour C, à l'intérieur duquel f{z) est une fonction holomorphe.

Considérons, en effet, l'intégrale

f(z) Les pôles de l;i fonction

sont les racines de la fonction /(s). Or, >■ " désigne une racine d'ordre my on aura

Kl». II. 1 ,

donc

/'(*) = ni | cp'(z) . f{z) ' z — a y{z) '

le résidu correspondant est donc égal à m. Par suite, en désignant par N le nombre des racines de l'équation contenues dans C, comptées avec leur degré de multiplicité, il vient

n=l, cm**.

21. On peut donner une autre forme au résultat précédent; l'intégrale précédente est égale à la variation de

log/{*),

quand z décrit le contour. Or

log/<>) = Log[mod f(z)] -+- i arg/(s),

et Log[fnod /(*)], qui est un logarithme arithmétique, reprend la même valeur quand z revient au point de départ. La variation de log/ '(z) est donc égale à la variation de son argument multiplié par i. La variation de arg/"(c) sera de la forme

in t., n étant un entier, et l'on aura

22. Prenons, comme application, le cas d'un polynôme y '(z) de

degré ni. Il résulte de ce que nous avons vu (Chap. V, n° 18) que,

à l'extérieur d'un cercle de rayon suffisamment grand, on a le

développement

■/'<*) Ai A^

cette série étant ordonnée suivant les puissances croissantes de -•

Il est clair d'ailleurs que A, == /?*, comme on le voit en multipliant par z les deux membres de cette identité et faisant z = oo. Le calcul de l'intégrale

le long d'un cercle C de très grand rayon, est maintenant immédiat; on aura

Je f(z) Jc z

puisque

r dz

On en conclut donc

c'est-à-dire qu'un polynôme de degré m a m racines.