Considérons particulièrement, avec Cauchy, le cas où le

contour C, à l'intérieur duquel on veut calculer le nombre des

racines de l'équation

/{ z) étant un polynôme, serait formé de segments de courbes unicursales. On peut alors, par un calcul régulier, trouver le nombre des racines, et Cauchy a donné à ce sujet des développements extrêmement intéressants. Soit le segment T de courbe unicursale obtenu en faisant varier le paramètre £, dont dépendent rationnellement x et y, depuis t = a jusqu'à t = b(a<^b); on a, pour cet arc,

(3o) JvfiT;dz = >L^mod'f(z)]'a^ijtt 7+mïï

P et Q étant deux polynômes en t faciles à former.

L'intégrale qui figure dans le second membre do il être calcul c'est elle qui nous intéresse.

L'intégrale définie est

arc taitgF({

On peul partir d'une détermination quelconque de ce! arc tan g pour- t = r/, et il faut suivre d'une manière continue [voir t. I, p. m) la détermination choisie depuis |,i valeur initiale t = a jusqu'à la valeur finale i b.

On remarquera d'abord que l'intégrale

' ¥'(t)dt

Ff(0

a un sens déterminé même quand F(t) devient infinie. Supposons en effet P et Q premiers entre eux; l'intégrale pouvant s'écrire