PQ'-P'Q
sera finie pour toute racine t du polynôme P.
Ceci posé, en désignant par arc tangF(a) l'arc ayant F (a) pour tangente et compris entre — - et -f- -, on aura, sans ambiguïté,
' F'(t)dt ' w/
f l hF8^) = arc tang F(0~ arc tang F(a),
tant que t en variant d'une manière continue ne passe pas par une valeur rendant F infinie. Dans cette formule, arc tangF(^) représente toujours l'arc compris entre et H Mais supposons
que t en croissant d'une manière continue passe par une valeur tK rendant infinie la fonction rationnelle F. Si F(ê) passe de +00 à — 00, on pourra écrire pour t un peu supérieur à ts
/ I+F'(n ^AfctAnS¥iO — arctançF(a)-t-w,
arc tangF(i) étant toujours lare compris entre — - et H — -• En effet, une fois que t a dépassé £,, c'est
arc tan g F(/) + ^
que l'on doit prendre pour suivre l'arc choisi d'une manière continue. Si, au contraire, la fonction F(^ avait passé de — 00 à + 00, on aurait eu, après t = tn
4 F'(t)dt
= arc tang F( t) — arc tang F( a) — tc.
Lorsque t varie de a à 6, on aura donc
/ ! , f?2(t) ""^ arctanb F(a) + arc tangF(6) + /itt,
les arc tang étant toujours compris entre — — et — | — - > et n désignant l'excès du nombre de fois pour lesquelles F(/) a passé de -+- oo à — oo sur celui pour lesquelles cette fonction a passé de — oo à -f- oo quand t varie de a à b. Cauchy a appelé ce nombre indice de la fonction entre a et b] nous poserons
24. Montrons maintenant, en suivant toujours Cauchy, comment on peut trouver, par un calcul régulier, l'indice d'une fraction rationnelle entre deux limites a et b.
Une première remarque sera très utile dans cette recherche; elle a pour objet de chercher une relation avec
l + Fi(/) = arc lanS F(b)~ arc tan8 Fia ) + * l«\ F( 0 h ct' en changeant F(*) en — — >
rb ¥\t)dt i i ,. r i I
-Jn 7^Fr(o = a,TtangF^)-arctan-î^)+K,HF(7)J;
par suite, en addil ionnant,
o = — arc tang Fl a ) — arc tani; —
-4- arc tang F( h i ■+■ arc tang p^ H- ici ,IttF(OJ + I,'; | p4^J j • Il en résulte que. si F (a) et F(6) sont <!<• même signe,
on a
Si li"i>(i. I < A i -^ o, on aura
et l'on a
2l4 CHAPITRE VI.
Si F (a) <C o, F(b) >> o, on a, au contraire,
iâ(F)-t-iâ(~)^-i.
Tout ceci résulte immédiatement de ce que
