I , TT

arc tang.r -+- arc tang — = ± — >

suivant que x est positif ou négatif.

Nous posons donc

lit*) + **■(£)=*,

£ = o pour F(#) F(&) > o,

£= — i » FO)<o, F(6) > o,

Faisons encore la remarque évidente que deux fonctions rationnelles, dont la différence est un polynôme, ont même indice, et que deux fonctions égales et de signes contraires ont des indices égaux et de signes contraires.

Cela posé, soit

V et V, étant deux polynômes premiers entre eux, on peut supposer que le degré de V est supérieur au degré de V,. Effectuons sur V et V4 les opérations que l'on fait sur le polynôme et sa dérivée dans l'application du théorème de Sturm ; soit donc

V ^VtQi-tt,

* «—1 — Wi V" »

on aura, en supprimant les indices a et b,

APPLICATIONS DES THEOREMES DE CAUCHV. 21 5

D'autre part,

v,\ . ,/va

'<v-J *Hvfi = £"

les e étant égaux à o, -f- 1 , — i et étant déterminés d'après la règle indiquée plus haut.

En additionnant ces égalités et tenant compte des précédente^, il vient

\ Z,e calcul de l indice de la fraction -rr peut donc être complètement effectué par de simples opérations algébriques.

Nous pouvons trouver facilement, d'après ce qui précède, le nombre des racines de l'équation algébrique

dans un contour formé de segments de courbes unicursales; il suffira de calculer l'indice d'une fonction rationnelle convenable pour chacun de ces segments. D'après la formule

et en se reportant à La formule (3o), on voit que le nombre cherché sera égal à la demi-somme de ces indices.

On peut, dans beaucoup d'autres cas, trouver par un calcul il mm- le nombre des racines de l'équation f{z ) = o, contenues

dans un contour : c'esl un sujet sur lequel nous reviendrons au Chapit re ^ui\ anl .

25. Nous allons terminer ce Chapitre en démontrant le th< Mine fondamental relatif à la continuité des racines d'une équation algébrique. Cauclvj énonce ce théorème de la manière suivante. Soil

une équation algébrique avec les deux variables x et y- Si, pour

x = o, V équation

a p racines nulles, l'équation (3i) aura, pour x voisin de zéro, p racines et p seulement voisines de zéro.

La démonstration précisera complètement ce qui reste d'un peu vague dans cet énoncé. Ecrivons le polynôme /(x, y) sous la forme

les A sont des polynômes en x, et l'on a

(3a) A0 = Aj — . . . = kp-i = o pour x = o,

tandis que A.p ne s'annule pas pour x = o. On peut écrire

-p-hl

tn—p

jk/' A„

Décrivons autour de x = o, y = o comme centres, dans les plans respectifs des variables x et y, deux circonférences G et Y de rayons r et p. On peut prendre ret p suffisamment petits pour que les deux conditions suivantes soient vérifiées.

On veut d'abord que, les points x et y étant quelconques à l'intérieur des deux cercles précédents, on ait

En second lieu, on veut que, y étant sur la circonférence Y, et x quelconque à l'intérieur du cercle C, on ait

vl<-

Pour la première condition, aucune explication n'est nécessaire. Pour la seconde, il suffît de remarquer que

et, d'après les équations (32), si /' est assez petit, il est clair que

Ceci posé, nous pouvons aisément trouver le nombre des racines de l'équation en y

contenues dans le cercle T, x étant un point quelconque à l'intérieur de C. Le nombre de ces racines est en effet égal au quotient par 2 7T de la variation de l'argument de

A^n-U-hV), quand y parcourt la circonférence T. Or, puisque |U|<^-i

| V | < —j l'argument de

redevient le même quand y revient au point de départ. L'argument de yP a augmenté de 2pn\ par suite, le nombre des racine* que nous cherchons est égal à p. C'est dans ce résultat fondamental que consiste le théorème de la continuité des racines d'une équation algébrique- Nous verrons bientôt comment ce théorème peut s'étendre à une fonction / (./. y) holomorphe par rapport à x et à y.