I. — Les intégrales de Kronecker
1. Nous nous sommes déjà occupé (t. I, p. i5o) du nombre des racines communes à plusieurs équations. Dans cette étude, nous avons posé, a priori, une certaine intégrale, considérée par Kronecker. Il est intéressant de montrer comment l'illustre géomètre y a été conduit, c'est par quoi nous allons commencer.
En posant
'-/fi
da db de
cette intégrale triple étant étendue à un certain volume, limité par une surface S, dans l'espace («, 6, c), on a vu que ce potentiel V, qui est une fonction de £, y, et Ç, satisfait à la relation (t. I, Chap. VII)
~dp~
drf àtf
ou
suivant que le point (ç, rj7 Ç) est extérieur ou intérieur aux masses attirantes.
Considérons maintenant trois fonctions continues /, cp, ty, et posons
dl d± dl
ôx dy dz
dy dy dy
dx dy dz
d<\> d<\> àty
ôx dy dz
Nous formons l'intégrale triple
D d.r dy dz
étendue au volume limité par une surface S. La fonction V est une fonction de (H, yj, Ç), cjue nous allons étudier au voisinage de Ç — o, r, = o, Ç = o.
Si dans S (et sur S ) il n'y a pas de valeurs pour lesquelles / = o, cp = o, 'l = o, on aura
r92V d2V <)-\ en entendant par A Y (o) la valeur de AV== -p^ H — r*j H — p^ pour
(£ = yj = Ç = o). Ceci est évident, puisque l'élément de l'intégrale reste fini et satisfait d'ailleurs à l'équation de Laplace.
Supposons maintenant qu'il y ait dans S des points pour lesquels
ces racines étant d'ailleurs simples, c'est-à-dire que D y est différent de zéro. Isolons ces points au moyen de petites surfaces fermées S. La part de l'intégrale (2) provenant des éléments extérieurs aux surfaces ï sera nulle, pour les raisons dites plus haut. Pour évaluer la part provenant d'un volume limité par une surface ï. faisons le changement de variable
Le signe de D esl invariable à l'intérieur de 1' <i. de plus, on peut supposer la surface ï assez petite pour que, des équations (•denier, on puisse tirer sans ambiguïté ./■. v« c en fonction bien déterminée de a , />. c autou r de a = o, b — o, c = o. Par ce changement de variable, l'intégrale 1 \) devient l'intégrale m h [) <>. et (cite intégrale changée d.- signe -1 D est négatif. On
aura donc
A YCo) = Z£ j r, BUÎVanl <|ii*' h 0.
En général, on aura
AV(o) =— 47îSe,
la somme 2 s'étendant aux racines communes à /, cp et 'l situées à l'intérieur de S. On a s = i pour une racine où D>o, eu — — i pour une racine oùD<o. On peut encore écrire
m étant la différence entre le nombre des racines pour lesquelles D est positif et le nombre des racines pour lesquelles D est négatif.
2. Nous allons maintemant montrer que AV(o) peut s'exprimer par une intégrale double étendue à la surface S.
Le volume limité par S peut se partager en régions où D a le même signe ; on isolera seulement des volumes très petits contenant les points de la surface D = o. De plus, chacune des régions, où D a un même< signe, peut se fractionner en régions plus petites où le changement de variables
«=/0, y**), ô = 9(a?,j, z), c = tf{x,y, z) se fera d'une manière uniforme de l'espace (a, 6, c) à l'espace
Soit une telle région E où D soit positif. Le changement de
variable fait correspondre à E une région F de l'espace (a, 6, c),
et l'on a
C r r dadb de
J J J TW^W^K^W^^W'
l'intégrale étant étendue à E, pour la part de V relative à E. On a
. -.r / s C r& cosa -h b cosû H- c cosy , A V ( 0 ) = / / 3 ds
J J (a2+62-hC»)¥
(a, £}, y correspondant à la normale intérieure).
Que va devenir cette intégrale de surface dans l'espace (#,/, *)?
Concevons #, y, z et, par suite, #, 6, c comme des fonctions sur les surfaces limitant E et F de deux paramètres u et v. On a,
pour la surface limitant F,
cos y. de = -r— du dv,
D(r a) < j cos a d 7 = . ; rtw ac,
cos y «a1 = r «m «t>-
Or, on a aisément
P(6, g) = D(?, '10 D(-r,^) D(y, ^, D-Q-, z) \)i9, <l ) D(z, .r , D( u, v) " ' DO, ^) D(u, v) ' D(jr,fi) D(«,v) ' ' D(s, a?; D(w, p)'
D'ailleurs, pour la surface limitant E dans l'espace (#, y, 3), on aura, pour une direction convenable de la normale,
Dl -r' >') j 1 1 >
-=r- ^— du dv = cos v de ,
X; ^M ^ = cos X tf<i', D(w, v)
— </;/ dt> = cos uc/j .
(h désignant l'élément de surface, et X, ;x, v correspondant a I normale. A quelle direction sur la normale correspondent cos)., COS p., cos v. La direction ( a, [J, y) correspondait à l'intérieur deF. Or, on peut réduire f1 ©, 'l à leurs termes du premier degré, et, par déformation continue, à
a = r. 6 = r, c=c (puisque D > o).
Donc la direction (X, |x, v) correspond à L'intérieur de E.
Si D <o, ce serait le contraire, mais alors le signe «le V sei changé dans la transformation di m (1); il y a donc compen-
sation.
En résumé, on a, dans tous les cas, pour la pari de A\ respondant à !..
/ / \ . / 1 en posanl
ce qui devient, en réduisant,
ày àz
ào dcp
ày àz
d<\> àty
ày àz
On a de la même manière
oz
àx
àw
àz
ày àx
dty
àz
àx
et
àx
ày
à® àx
ày ày
àx
àty ày
La part de AV(o) correspondant à Eest donc l'intégrale double (prise vers l'intérieur )
A dy dz -h B dz dx -h G dx dy,
étendue à la surface qui limite E.
En ajoutant tous les résultats relatifs aux portions E dans lesquelles on a décomposé le volume donné de l'espace (#, y, z) limité par la surface S, on aura
A dy dz ■+- B dz dx -h C dx dy — — /\Tzm,
l'intégrale double étant prise (vers l'intérieur) sur la surface S et m ayant la signification du paragraphe précédent. Nous avons (t. I, p. i5o) considéré a priori l'intégrale double qui précède, et démontré ensuite qu'elle était égale à — ^nm.
3. Kronecker a généralisé le résultat précédent, en considérant au lieu de l'intégrale (2) l'intégrale étendue au volume limité par S
où p est une fonction de x, y el z.
Envisageant toujours V comme fonction de Ç, rj, Ç, on trouve de suite, en raisonnant comme au paragraphe 1,
°'" ■t"*''(lr«*",)\D(xl,jrt,*t)\'
en désignant par (xt. yn z() .les racines communes aux trois équations
comprises dans S et la sommations étant étendue à ces racines.
Il s ;iui! maintenant de voir comment se modifie l'analyse du paragraphe 2.
Reprenons toujours les portions E et F; on a dans l'espace (a, 6, c), en se reportant au Tome 1 (p. 192),
AW(o) =
p « a cosa -h 6 cos [3 -+- c cosy ) (a* -h 62-t- c2/
ào
da db de.
| aa-f ^2 x ç2)ï
Nous avons ici une intégrale triple que nous n'avions pas tout à l'heure. L'intégrale double donne l'intégrale analogue à celle considérée plus haut
SI
\ dy dz -1- \\ dz dx -+- G dx dy ,
ou V. B, ( ! ont la même signification, Il reste à ramener l'intégrale triple
dp . <h àû
" r h ïi + CT"
d<l <*0 fJC
f/tf db de
à l'espa< e cr. y, 3),
Or
àp p dx àp ày dp dz
v da dy da dz àa
i * àp dp
et de même pour ^ et -^- •
En
riable
àa âx da dy da dz àa
£ et -p àb l de
En difFérentiant les relations relatives au changement de va-
on trouve facilement, par la résolution d'équations du premier degré,
d# D(y, 2) dâ ~ D '
et des expressions analogues pour ~ et -p« On obtient alors
en posant
Ô? , LdP
da db àc D
Q à^ di dp àx ày dz
f àf dj [ df
dx dy dz
à(f dep dep
' àx dy àz
d<\> à<\> àb dx ày àz
et l'intégrale triple (3) devient alors, dans l'espace (#, y, z)1
" P dx dy dz
J J (/2-+-<p2 + ^2)2 Finalement, on a la formule
( 4 ) / / p ( A dy dz -+- B dz dx -+- G dx dy) -f- / / /
= — 4tt£ p(xiy yi, Z{)
D(xhyi, zt)
P dx dy dz
D(xt,jrt, zt)\
Telle est la formule généralisant celle que nous avons obtenue
à la fin du paragraphe précédent, et qui coïncide avec elle pour p = const. L'intégrale double est étendue à la surface intérieure S et 1 intégrale triple au volume limité par S.
A. J'ai montré (t. I, p. i 54) comment on pouvait, de la première formule de Kronecker, tirer une formule donnant le nombre des racines communes à deux équations
contenues dans un contour, en reproduisant l'analyse de mon Mémoire du Journal de Mathématiques (1892) sur le nombre des racines communes à plusieurs équations simultanées : je passais par l'intermédiaire d'un espace à trois dimensions. Guidé par la forme du résultat que j'avais trouvé, M. Walther Dyck a montré très élégamment {Comptes rendus, décembre 1894) comment, sans passer par un espace à trois dimensions, mais en se servant de la seconde formule de Kronecker (pour le cas d'un plan), on pouvait parvenir aux formules que j'avais données.
Ecrivons d abord la formule analogue à (4 ), mais relative au plan. Une analyse toute semblable donne
/et cp étanl deux fonctions de x et r, ainsi que p. On a posé
J dx ' dx
J dy rdy'
D(jt, y) est le déterminant fonctionnel -r- -%• — v^-'-r-*'' l'on dév J ' dx dy dy dx
signe par t ./,. y, 1 les racines communes aux équations
contenues dans le contour G. On a enfin posé
àf
riz.
dx
