II. — II
l'intégrale curviligne qui figure dans le second membre est prise dans le sens posilif.
Ceci dit, cherchons une fonction p(#, y) qui soit égale à -+- 1 aux points (a?t-, yi) où D est positif, et égale à — i aux points (#/, yi) où D est négatif. On peut prendre
en désignant par s une constante positive, et le radical élanl pris avec le signe plus.
En substituant cette valeur de p dans la formule (5), on trouve la valeur que nous avons donnée (t. I, p, i 56) pour le nombre des racines des équations (6) contenues dans G.
Toutes ces considérations sont susceptibles de s'appliquer à un nombre quelconque d'équations, mais nous renverrons pour cet objet à mon Mémoire déjà cité et à l'article de M. W. Djck.
5. Faisons quelques remarques sur le résultat trouvé à la page 1 56 du Tome I, où l'on est prié de se reporter pour les notations. La formule que j'ai donnée, pour exprimer le nombre des racines communes à deux équations, dépend en apparence du nombre z : les deux cas limites £ = o et e = oo appellent nécessairement l'attention,
Faisons tendre d'abord z vers zéro, l'intégrale (a) tendra vers zéro. Quant à l'intégrale (p), elle se présente sous une forme indéterminée qui rappelle entièrement ce que nous avons trouvé pour le cas d'une seule équation (n° 3); nous pouvons dire que le nombre cherché est la limite de l'expression
s R dx dy
quand e tend vers zéro. Il est clair que pour z =.o tous les éléments de l'intégrale sont nuls, sauf celui qui correspond à une racine commune aux deux équations f = o, cp == o, et c'est de là que provient la forme indéterminée. Nous chercherons tout à l'heure comment on pourrait calculer une limite pour quelques contours particuliers et en supposant que y et es soient des polynômes.
Faisons maintenant augmenter indéfiniment s dans les intégrales (a) et (j3). On voit immédiatement que la première tend vers
| D | désignant la valeur absolue de D.
Cette intégrale est à rapprocher de l'intégrale
rf
fdy — <t df
faisant connaître la différence entre le nombre des racines contenues dans C, pour lesquelles le déterminant fonctionnel D est positif, et celles pour lesquelles il est négatif. Les éléments de ces deux intégrales ne peuvent que différer par le signe sur certaines parties du contour.
Quant à l'intégrale (fi)3 elle se réduit, en posant e = —=> â
/) R dx dy
dont on doit chercher la limite pour ^ = 0. 11 y aura ici, pour Tj = o, une suite d'éléments indéterminés correspondant aux valeurs de x et r. pour lesquelles
Si I) ne s'annule p.is à l'intérieur de G, cette limite est nulle < t l'on n'a qu'à prendre L'intégrale curviligne, ce qui esl d'accord avec le résultat trouvé précédemment. Remarquons en terminant que tous [es résultats précédents peuvenl être étendus à «les systèmes «le // fonctiens de // variables indépendantes, mais je ne crois piis utile d'insister sur ces extensions qui n'exigenl aucun principe nouveau ( ' ).
(') On pourra consulta sm ces questions un intéressant tr.iv.nl <!<■ M Mareughi «lan- les Comptée rendus de l'Institut Lombard (i<i<n). Je citerai encore deoi Notes de MM. Davidoglou et Teilzéica [Comptes rendus di i \<n demie des Sciences, décembre f « « * • 1 ^ . <>u ces auteurs envisagent le <as «1rs racines nul) ipli
ai8 CHAPITRE VII.
II. — Nombres des racines communes à deux équations pour quelques contours particuliers.
6. Appliquons les considérations précédentes au cas où le contour considéré se réduit à un carré dont les côtés peuvent être supposés parallèles aux axes et où les deux fonctions /(#, y) et <p(#, y) sont des polynômes. On peut, dans ce cas, écrire les deux équations simultanées
sous la forme
y — F(ar) = o,
/(oc) et F(ûc) représentant deux polynômes (puisqu'on suppose qu'il n'y a que des racines simples). Le polynôme f(x) n'aura ainsi que des racines simples.
Il s'agit de trouver le nombre des racines (#, y), communes à ces deux équations, pour lesquelles
On suppose qu'aucune des racines des deux équations ne se trouve sur une des droites limites.
Le déterminant fonctionnel D se réduit ici kf'(x), et l'on a
Nous devons donc considérer l'intégrale
**-ff)dxdy \
"V J Kr-F
étendue à l'aire du rectangle, et faire tendre £ vers zéro.
En effectuant l'intégration par rapport ày, cette intégrale devient
*{d-F)(f*-ff')dx
b B(c-F)(f'*-ff)dx
Quand s tend vers zéro, les seuls éléments de l'intégrale
t(d-F)(f'*-ff")dx
ne tendant pas vers zéro, sont ceux qui correspondent aux valeurs de x racines de f{x). Au lieu de l'intégrale précédente,
nous pouvons donc nous borner à la suivante ( en développant
— par la formule de Taylor j
rb d-¥ t(f'*-ff)dx ce qui nous conduit, pour e =o, à
\ba désignant l'indice entre a et 6, au sens de Cauchy, de la fonc-
tion rationnelle f " ; et Ton aura, par conséquent, pour le
nombre des racines,
ïL' / • / J'
7. Ce résultat est facile à vérifier directement. Quand #, en croissant, passe par une racine de/(.r), le quotient
je de H- oo à — oo si c — F est négatif, c'est-â-dire si le poinl (jr, y) est au-dessus de ta droite y~ c. De même, ce quotient passera de — oo à -+- oo si le point correspondant (j?, j*) est audessous de la droite y = c. En désignant donc par n et /*' le nombre des racines de no> deux équations (comprises entre les droites x = a, .r = &), situées respectivement au-dessus et au- I ssous de la droit»' y = c, on a
En remplaçant c par d et désignant par N et N' les nombres correspondants, on a de même
Or si nous désignons par v le nombre des racines comprises dans le rectangle, on a
N'= v-+-/i'; donc
Par conséquent
c'est le résultat que nous voulions vérifier (' ).
8. D'une manière plus générale on peut indiquer une marche régulière de calcul pour trouver la limite de l'intégrale
t(f'*-ff')dxdy
Hfir-
quand le contour est formé de segments de courbes unicursales. Cette intégrale double est, en effet, égale à l'intégrale curviligne
27^</cl(/2+^2/'2)[(r-Fr-+/2^^/'2J2,
prise dans le sens positif le long du contour C.
Partageons cette intégrale en différentes parties correspondant aux différents segments de courbes unicursales qui, par hypothèse, forment le contour G. Soit l'un d'eux correspondant aux valeurs t0 et tK du paramètre t dont sont fonctions rationnelles x et y. La valeur correspondante de l'intégrale sera, pour e = o, en raison-
(') Le cas du rectangle avait été déjà traité, sous une- autre forme, par M. Hermite dans une Communication faite à l'Académie [Remarques sur le théorème de M. Sturm (Comptes rendus t. 30, p. 294)].
nant comme au numéro précédent,
■ ,,, Ir.-F)/'
Le quotient — — ^ sera une fonction rationnelle de t, et l'on
n'aura qu'à en prendre l'indice de /„ à /,. En additionnant tous les résultats ainsi obtenus, on aura le nombre cherché.
9. Il y a beaucoup d'autres cas où l'on peut facilement trouver le nombre des racines communes à deux équations
( J et cp étant deux polynômes) contenues dans un contour convenable C. Comme au paragraphe 6, nous écrivons toujours ces deux équations sous la forme
/'et F étant deux polynômes.
Supposons que le contour C soit défini par la relation algébrique
X «tant un polynôme, et que les points à l'intérieur du contour
correspondent à
Nous avons donc à chercher le nombre des racines communes aux équations (5) pour lesquelles l'inégalité précédente est vérifiée, ce qui revient à cherche! le nombre des racines x de l'équation
pour lesquelles
en désignant par R(#) le polynôme Xfj?, F(#)]. Or cette question M visiblement qu'un cas particulier de celui qui ;» été traité au paragraphe T.
On prendra l'indice entre — oo et 4- oo de la fraction rationnelle
En désignant, respectivement, par n et n' le nombre des racines de/=: o, pour lesquelles R(a?) est négatif ou positif, on a
On connaît d'autre part, au moyen du théorème de Sturm, la somme n -h n qui peut d'ailleurs s'écrire
On aura par suite le nombre cherché n.
10. Ce résultat est bien facile à généraliser. Supposons que le contour C soit défini par deux inégalités
\ et jjl étant des polynômes.
Nous serons conduit à rechercher le nombre n des racines de
l'équation
pour lesquelles on a simultanément
Soient N le nombre des racines pour lesquelles
RO)<o, R,(a?)>o, et N' le nombre des racines pour lesquelles
R(#)>o, RiO)<o.
On pourra trouver la somme N 4- N', puisque ce nombre représente le nombre des racines pour lesquelles
Désignons de même par n et n le nombre des racines pour lesquelles on a respectivement
R(x)<o, Rt(jp)<o (pour n), R( x) > o, Rif^)>o (pour n').
On pourra calculer les sommes
n -+- N et ai-4-N',
qui correspondent respectivement aux racines pour lesquelles R(j?) < o, et aux racines pour lesquelles R,(.r)<^o. Ayant calculé les trois sommes
nous en déduisons de suite le nombre cherché n.
Il est clair qu'on n'aura pas plus de difficultés à calculer le
nombre des racines de l'équation f(x) pour lesquelles on aura à
la fois
R!^)<o, H2fj7)<o, ..., R,(.r)<o,
i étant un entier quelconque. On peut donc par suite trouver, par un calcul algébrique régulier, le nombre des racines des deux équations
(f et cp étant deux polynômes) contenues dans un contour défini par les n inégalités
les X étant des polynômes.
